طراحی مدل تخصیص بهینه منابع در سیستم بانکداری ایران

مدلسازی اقتصادی

مقاله 6، دوره 11، شماره 40، اسفند 1396، صفحه 115-136   

نوع مقاله: پژوهشی

نویسندگان

علی اصغر موحد^{* 1}؛ اصغر ابوالحسنی²؛ محمدحسین پورکاظمی³؛ یگانه موسوی جهرمی⁴

¹ایران

²دانشیار گروه اقتصاد دانشگاه پیام نور

³دانشیاردانشکده اقتصاد دانشگاه شهید بهشتی

⁴دانشیار گروه اقتصاد دانشگاه پیام نور ، تهران، ایران

چکیده

هدف این مقاله، مدل‌سازی تخصیص منابع مبتنی بر الگوی بهینه­یابی پویای تصادفی در نظام بانکی ایران می‌باشد. به همین منظور با استفاده از داده­های سطح بانکی با روش شبیه­سازی اولر- مارویاما اقدام به شبیه‌سازی مدل تخصیص منابع کرده و مسیر زمانی بهینه تخصیص منابع طی دوره 24 ماهه به صورت عددی به دست آمد. نتایج نشان داد متغیرهای مهمی مانند نرخ سود انتظاری، ریسک سود و نوسان هر یک از انواع تسهیلات، تاثیر زیادی در سهم آن­ها دارد. همچنین یافته‌ها نشان داد هر چقدر میزان سود انتظاری تسهیلات خاص افزایش و میزان ریسک و نوسان آن کاهش یابد، سهم بیشتری از بین انواع مختلف تسهیلات را به خود اختصاص می­دهد. بر اساس نتایج، ورود تخصصی بانک­ها به تسهیلات مشارکتی و افزایش سهم این نوع تسهیلات به منظور افزایش سودآوری پیشنهاد می‌شود.

کلیدواژه‌ها

طبقه‌بندیJEL :.G21؛ G31؛ D82؛ L14 واژگان کلیدی: بانکداری اسلامی؛ تخصیص منابع؛ عقود مشارکتی؛ بهینه‌یابی پویا

اصل مقاله

1.‌ مقدمه

ادبیات گسترده بررسی چالش­ها و مشکل­های اجرایی بانکداری اسلامی، نشان از باور محققان به عدم کامیابی کامل بانکداری اسلامی در مقام اجرا دارد. در ایران هم پس از تحول اساسی در سیستم بانکی و اجرای نظام بانکداری بدون ربا در سال 1363، تعداد فراوانی از محققان بر این باورند که پس از گذشت بیش از 33 سال، اجرای بانکداری اسلامی به شکل کامل کامیاب نبوده و با چالش­ها و مشکلاتی همراه است؛ اما همین محققان درباره اینکه این چالش­ها بیشتر مربوط به کدام قسمت از فرایند عملیات بانکی می­شود و چگونه می­توان آن­ها را برطرف کرد، اختلاف‌نظر دارند. نکته قابل توجه درباره تحقیق­های صورت­گرفته در این باره این است که در اکثر قریب به اتفاق موارد، این ارزیابی عملکرد به صورت توصیفی انجام شده و تاکنون هیچ مدل­سازی ریاضی کاملی در این‌باره صورت نگرفته است (محمودیان، ابوالحسنی هستیانی، پورکاظمی، ندری، 1396: 160).

بخش خروجی بانک یعنی تخصیص منابع بانکی به اشخاص و نهادهای متقاضی تسهیلات، به دلیل وجود تعدد عقود، خطر اخلاقی، وجود انواع مختلف ریسک و تخصصی شدن فعالیت بانک، همواره از اهمیت مضاعفی برخوردار بوده و دیدگاه­ها و نظرات بعضا متناقضی در این زمینه وجود داشته است. به دلیل اهمیت این بخش و اثرگذاری مستقیم آن برسودآوری و رقابت­پذیری بانک، همواره نیاز به مدل­سازی و بررسی دقیق در این بخش از فعالیت بانک وجود دارد.

نوآوری مقاله نسبت به مطالعات پیشین، تمرکز بر بخش تسهیلات بطور خاص، جدانمودن تسهیلات مبادله­ای از مشارکتی در تحلیل و استفاده از دقیق­ترین و بروزترین روش بهینه­یابی، یعنی بهینه­یابی پویای تصادفی می­باشد. این روش به تازگی در ادبیات اقتصادی، خصوصا در بخش مالی مورد استفاده و بهره­برداری قرار گرفته است.

این مقاله در ابتدا به تبیین ابعاد مختلف عقود مشارکتی در بخش تخصیص و ویژگی­های آن­ها در بانکداری اسلامی پرداخته و روند اجرایی­سازی بانکداری اسلامی در بخش تخصیص در قالب نظام بانکداری ایران را مورد بررسی قرار داده است. سپس متناسب با این الگو، مدل مبتنی بر مدل‌های بهینه­یابی پویای تصادفی ارائه شده و در پایان با استفاده از داده­های یکی از بانک­های ایران به شبیه­سازی مدل ارائه شده و تحلیل نتایج پرداخته شده است.

برای دست‌یابی به هدف، مقاله بدین صورت سازماندهی می‌شود. در ابتدا به تبیین ابعاد مختلف مدل بهینه­یابی پویای تصادفی و پیشینه تحقیق پرداخته می‌شود. در بخش دوم اجزا و بخش­های مختلف مدل تصریح می‌شود. در بخش بعدی با استفاده­از داده­های واقعی، مدل تحقیق شبیه­سازی و تحلیل می‌شود و در پایان نتیجه­گیریبیان می‌شود.

 

2.‌ ادبیات تحقیق

2-1.مدل­سازی بهینه­یابی پویای تصادفی

بهینه­یابی در تحلیل­های اقتصادی موضوع مهم و برجسته­ای است و در بیشتر تکنیک­های جدید برنامه­ریزی ریاضی جایگاه مهمی دارد. در مسئله بهینه­یابی پویا این سوال مطرح می­شود که مقدار بهینه متغیر انتخابی برای هر دوره زمانی در طول دوره برنامه­ریزی (حالت زمان گسسته) یا در هر نقطه از یک فاصله زمانی معین، مثلا  (حالت زمان پیوسته) چقدر است. جواب مسئله بهینه پویا به ازای هر متغیر انتخابی بشکل یک مسیر زمانی بهینه خواهد بود که بهترین مقدار این متغیر را تا پایان دوره برنامه­ریزی مشخص می­کند (چیانگ[1]، 1387: 3).

در نظریه کنترل بهینه، مسئله بهینه­یابی بجای دوتا متغیر، دارای سه نوع متغیر است. یعنی علاوه بر متغیر زمان  و متغیر وضعیت  متغیر کنترل  نیز مورد توجه قرار گرفته است. مهم‌ترین هدف نظریه کنترل بهینه، تعیین مسیر زمانی بهینه برای متغیر کنترل است. البته وقتی مسیر متغیر کنترل بهینه شد می­توان مسیر بهینه متغیر وضعیت را نیز پیدا نمود. لذا حضور متغیر کنترل به عنوان بازیگر اصلی، جهت­دهی اساسی مسئله بهینه­یابی پویا را تغییر می­دهد (پورکاظمی، 1393: 244).

2-1-1. تعریف مسئله بهینه­یابی

فرض می­کنیم  فضای نمونه و  ساختار اطلاعاتی و  ساختار اطلاعاتی فیلتر شده[2] و  اندازه احتمال باشد. در فضای احتمالی ،  فرایند تصادفی و  حرکت براونی استاندارد است. مسئله­ای به صورت زیر یک مسئله کنترل تصادفی است:

 

 

 

 

در رابطه بالا،  متغیر وضعیت،  متغیر کنترل و  فرایند براونی هستند (برتسکاس[3]، 1995: 49).

2-1-2. حل مسئله کنترل بهینه تصادفی

اساس حل مسئله کنترل بهینه غیر تصادفی مبتنی بر معادلات دیفرانسیل معمولی می­باشد، سه روش حساب تغییرات، اصل ماکزیمم و برنامه­ریزی پویا (معادله بلمن) برای حل مسئله کنترل وجود دارد که از بین این سه روش، تنها روش سوم یعنی برنامه­ریزی پویا و معادله بلمن قابل استفاده برای حل مسائل کنترل بهینه تصادفی می­باشد. لذا برای حل این‌گونه مسائل از معادله بلمن استفاده می‌شود (پورکاظمی، 1393: 373).

برای به دست آوردن معادله بلمن از اصل بهینگی استفاده نموده و براساس این اصل اگر نقطه شروع را هر نقطه­ای جز  نیز در نظر بگیریم، مسیر باقیمانده هم با انتخاب مثلا   به عنوان نقطه شروع، باز این مسیر بهینه است. با استفاده از این اصل و محاسبه مشتقات جزیی و دیفرانسیل متغیر وضعیت یعنی  و ساده­سازی (مانند حذف جملات شامل زیرا  برابر صفر است)، به معادله اساسی برای حل مسائل کنترل بهینه تصادفی می­رسیم که موسوم به معادله تصادفی بلمن است و به صورت زیر نمایش داده می‌شود(برتسکاس، 1995: 55):

 

2-2. پیشینه تحقیق

توویلا[4] (2016) در مطالعه خود به بررسی استراتژی­های بهینه برای تخصیص پویای منابع پرداخته است. در این تحقیق از روش برنامه­ریزی تصادفی به عنوان یک روش برای تخصیص بهینه منابع استفاده شده است که لازمه آن توسعه سناریوها یا درخت تصمیم­گیری است که متغیرهای تصادفی مدل و اثرات آن­ها را توصیف می­کنند. برای تولید سناریوها در این تحقیق از روش لحظه تطبیق استفاده شده است به این صورت که متغیرهای تصادفی توصیف شده با همتایان خود که از روش اقتصادسنجی و تحلیل­های سری زمانی به دست­آمده­اند، مطابقت داده می­شوند. با استفاده از مدل طراحی شده می­توان تخصیص بهینه منابع را در هر قسمت از درخت تصمیم یا سناریو به دست آورد.

حلیم[5] و دیگران (2015)در مطالعه خود شش هدف یکی از بانک­های برتر مالزی، یعنی انباشت دارایی، کاهش بدهی، ثروت سهام، درآمد، سودآوری و موارد مدیریت مطلوب مالی را مورد بررسی قرار داده­اند. آن­ها برای یافتن یک راه حل بهینه، این اهداف را با استفاده از مدل برنامه­ریزی هدف در طی سال­های 2010 تا 2014 بررسی کردند. نتایج بدست آمده در این مطالعه می­تواند به عنوان یک راهنما برای موسسات مالی در تصمیم­گیری و توسعه استراتژی برای مقابله با سناریوهای مختلف اقتصادی مورد استفاده قرار بگیرد.

چاکرون و عبید[6](2014) در مطالعه خود به بررسی استراتژی مطلوب تخصیص منابع برای بانک با در نظر گرفتن نرخ بهره تصادفی پرداخته است. بانک مورد نظر دارای سه نوع دارایی می­باشد که شامل: حساب بانکی، وام و اوراق بهادار می­شود. مسئله تخصیص منابع که در این تحقیق به آن پرداخته شده است، حداکثرسازی ثروت سهامداران بانک در یک افق زمانی محدود می­باشد. برای حل این مسئله از اصل برنامه‌ریزی پویا و معادله همیلتون- جاکوبی-بلمن (HJB) استفاده شده است. در انتها نیز یک مطالعه موردی برای نشان دادن نتایج و تجزیه و تحلیل حساسیت پارامترها در استراتژی تخصیص بهینه منابع انجام شده است.

محمودیان و دیگران (1396)،در مقاله خود عملکرد مطلوب یک بانک اسلامی را با استفاده از مدل­های بهینه­یابی پویای تصادفی، مدل­سازی نموده است. در این تحقیق با در نظر گرفتن مشخصات و ویژگی­های یک الگوی مطلوب در بانکداری اسلامی، به بیان مدل بهینه­یابی تصادفی پویا متناسب با آن پرداخته است به نحوی که بتوان مسیر بهینه تجهیز منابع را در هر لحظه از زمان مشخص و عملکرد بانک را منطبق با آن تنظیم نمود. نویسنده در انتهای مقاله با استفاده از داده­های واقعی در نظام بانکی ایران، مدل ارائه شده را شبیه­سازی نموده و با تغییر پارامترها، به تحلیل حساسیت مسیرهای بهینه پرداخته است.

موسویان و دیگران (1393) در مقاله خود به بررسی رفتار بانک در قالب یک مدل بهینه‌یابی تصادفی پویا پرداخته است. در این مقاله با استفاده از تکنیک کنترل بهینه تصادفی، رفتار بانک بدون ربا در قالب تابع هدف مورد بررسی قرار گرفته است و سهمی از عقدهای مبادله­ای و مشارکتی که عایدی بانک اسلامی را حداکثر می­کند، در قالب یک الگوی نظری مشخص شده است.

 

3. تصریح مدل

اکنون تعریف مسئله بهینه­یابی پویای تصادفی بیان می‌شود و مدل پیشنهادی در قالب ریاضی عرضه می‌شود. قبل از بیان مسئله اصلی باید ساختار این مدل تبیین گردد که در ادامه ارائه می‌شود.

درآمدهای بانک: در مدل تحقیق فرض بر این است که درآمدهای اصلی بانک، شامل درآمدهای کارمزدی و خدماتی، درآمد ناشی از عقود مشارکتی و درآمد ناشی از عقود با بازدهی ثابت می­باشد که به صورت زیر تعیین می­شوند:

 

که در آن  درآمد حاصل از ارائه خدمات بانکی و اخذ کارمزد می­باشد،  تسهیلات اختصاص‌یافته در زمینه عقود بابازدهی ثابت،  تسهیلات اختصاص‌یافته در زمینه عقود مشارکتی،  سهم سود بانک از تسهیلات عقود با بازدهی ثابت و   سهم سود بانک از تسهیلات عقود مشارکتیمی­باشد. حضور درآمد خدمات بانکی در مدل از آن جهت است که به دلیل افزایش رقابت بین بانک­ها و تغییرات در مقررات افشاسازی بانک­ها را مجبور به کاهش نرخ­های وام­دهی نموده است، به همین دلیل، بانک­ها به طور وسیع به خدمات غیربهره­ای روی آورده­اند (فرهنگ و دیگران، 1395: 48).

هزینه­های بانک: در مدل تحقیق هزینه­های بانک به دو بخش هزینه­های عمومی بانک و هزینه‌های تخصصی بانک تقسیم می­گردد. هزینه­های عمومی بانک در زمان  دارای یک فرم درجه 2 از میزان کل سپرده­ها بوده و هزینه تخصصی بانک هم به عنوان یک متغیر جدا در نظر گرفته می‌شود؛ در نتیجه، هزینه بانک را می­توان به صورت زیر نشان داد:

 

که در آن  مجموع کل تسهیلات بانک،  هزینه نهایی تخصیص عقود با بازدهی ثابت،  هزینه نهایی تخصیص عقود مشارکتی و  بردار پارامترهای ساختار هزینه­ای بانک می‌باشد. درنظر گرفتن فرم درجه 2 به این دلیل است که وجود صرفه به مقیاس، معمولاً برای فعالیت بانک هزینه­های سخت‌افزاری و نرم‌افزاری یکسانی در ابتدا مورد نیاز است و بنابراین با افزایش میزان تسهیلات، هزینه نهایی شکل نزولی دارد. اما از یک سطح مشخص به بعد، جذب سپرده و ارائه تسهیلات بیشتر، نیاز به هزینه­های بیشتر به منظور ارتقای زیرساخت‌ها در بانک مانند افزایش تعداد شعب یا ارتقای نرمافزارهای مورد استفاده دارد که این امر باعث می­شود افزایش هزینه فزاینده بوده و هزینه نهایی صعودی شود. تفکیک هزینه‌های تخصیص نیز به این دلیل است که ساختار هزینه­ای تخصیص کاملا متفاوت از یکدیگر است.

تابع هدف بانک: تابع هدف بانک مانند هر موسسه خصوصی دیگر حداکثر نمودن ارزش فعلی خالص سود است که از تفاضل ارزش فعلی درآمد و هزینه بانک به دست می­آید.

متغیرهای وضعیت و کنترل مدل: در مدل مقاله تسهیلات به‌کارگرفته شده در عقود با بازدهی ثابت و مشارکتی، دو متغیر وضعیت مدل بوده و میزان سهم آن­ها نیز متغیرهای کنترلی می‌باشند.

با توجه به غیر متعین بودن تخصیص منابع در هر لحظه از زمان، تغییرات ارائه تسهیلات در هر یک از انواع آن، از یک فرایند تصادفی تبعیت می­کند. این فرض توسط موکودم پترسون و همکارانهم در مورد تغییرات وام­دهی استفاده شده است که آن را به صورت زیر بیان نموده‌اند (موکودم پترسون[7] و همکاران، 2007: 4):

 

که در آن  نرخ بهره وام­های اعطایی،  هزینه نهایی اعطای وام،  نوسانات تقاضای وام و  فرایند براونی تقاضا برای وام است. در نتیجه اگر  میزان تسهیلات تخصیص‌یافته براساس عقود با بازدهی ثابت باشد، می­توانیم تغییرات آن را به صورت زیر بیان نماییم:

 

 فرایند تصادفی براونی استاندارد  می­باشد که دارای ویژگی­های زیر است:

 

 

 

 که نشان‌دهنده میانگین انتظاری تسهیلات عقودبابازدهی ثابت در زمان   می­باشد.

 که نشان‌دهنده واریانس تسهیلات بازدهی ثابت در زمان   می­باشد.

موکودم پترسون و همکاران در مقاله خود مقدار میانگین انتظاری تسهیلات را  درنظر گرفته­اند. دراینجا نیز ما مقدار میانگین انتظاری  را برابر تفاوت بازدهی نهایی با هزینه نهایی آن درنظر می­گیریم؛ با این تفاوت که نوسانات سود به دست­آمده نهایی را نیز در آن وارد می­نماییم. دلیل این تغییر به تفاوت ماهوی بانکداری ایران با بانکداری رایج برمی­گردد. از آنجا که در نظام بانکی ایران سود قطعی و از قبل مشخص‌شده وجود ندارد و با توجه به شرایط بازار واقعی سود حاصله تعیین می­شود، لذا در تحقق سود به تناسب نوع تسهیلات ما با ریسک مواجه هستیم که طبیعتا این ریسک در عقود بابازدهی ثابت بسیار کم و در عقود مشارکتی بیشتر می­باشد. با توجه به توضیحات فوق می­توانیم تغییرات  را به صورت زیر بیان نماییم:

 

که در آن   سود انتظاری تسهیلات بازدهی ثابت،  هزینه تسهیلات بازدهی ثابت و  ریسک سود حاصله از تسهیلات بازدهی ثابت می­باشد. مقدار  عددی بین یک و دو تعریف می‌شود؛ با این استدلال که اگر هیچ ریسکی در تحقق سود وجود نداشته باشد، ما به فرمول مشابه الگوی بانکداری رایج بیان شده توسط موکودم پترسون می­رسیم و در صورت وجود ریسک این عدد تا حداکثر دو برابر به صورت معکوس دارای اثر منفی در مسیر بهینه می­باشد.

به همین ترتیب، می­توان معادله حرکت دیگر متغیر وضعیت یعنی  را به صورت زیر نوشت:

 

مجموع کل تسهیلات بانک  تابعی از دو نوع تسهیلات فوق یعنی  و  است؛ به نحوی که در زمان  برای کل تسهیلات بانک داریم:

 

 

در نتیجه، بر اساس دیفرانسیل­گیری تصادفی کلی و قضیه ایتو (آلن[8]، 2007: 95)، (تسی[9]، 2002: 228) خواهیم داشت:

 

با تعریف روابط ساختاری زیر می­توانیم معادله نهایی حرکت را استخراج نماییم.

 

 

 

که در این روابط  و  به ترتیب، سهم تسهیلات عقود بابازدهی ثابت و مشارکت از کل تسهیلات می­باشند. این دو سهم را می­توان به عنوان متغیر کنترل در مدل مدنظر قرار داد؛ زیرا تغییر این دو متغیر مستقیما در سود­دهی بانک تاثیرگذار خواهد بود. در نهایت،  ضریب درآمدزایی خدماتی بانک می­باشد. در اینجا فرض شده که درآمد ناشی از خدمات بانک با میزان کل سپرده­های بانک ارتباط مستقیم دارد. منطق این فرض این است که با افزایش میزان سپرده­های بانک، امکانات، تعداد شعب، کارکنان و خدمات­دهی بانک نیز افزایش می­یابد.  می­تواند از طریق داده­های بانک مشخص شود. البته ممکن است رابطه درآمد ناشی از خدمات بانک و سپرده­ها از نوع درجه دوم یا لگاریتمی‌باشد که در اینجا برای سادگی رابطه خطی فرض شده است. اکنون با توجه به روابط فوق می­توانیم رابطه نهایی معادله حرکت را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

 

3-1. تشکیل مسئله

حال که مشخصات مدل پیشنهادی تبیین و فروض و ساختار به کار گرفته شده در مدل تعریف شدند، می­توانیم مسئله اصلی یعنی مدل بهینه­یابی پویای تصادفی جهت الگوی پیشنهادی تخصیص منابع در بانکداری اسلامی را تبیین نماییم. همان‌گونه که یاد شد، تابع هدف بانک مانند هر موسسه خصوصی دیگر حداکثر نمودن ارزش فعلی خالص سود است که از تفاضل ارزش فعلی درآمد و هزینه بانک به دست می­آید. این مسئله دو قید تصادفی دارد که شامل معادله دیفرانسیل تصادفی دو نوع تسهیلات یاد شده در مدل می­باشد. مشابه همین کار توسط مرتون[10] (1973) صورت پذیرفته است. به این صورت که مرتون در فصل هشتم کتاب خود با عنوان نظریه قیمت­گذاری عقلایی اختیارات، تغییر در قیمت سهام، اوراق قرضه و اختیارات را به صورت یک معادله دیفرانسیل تصادفی بیان نموده که تغییرات قیمت اختیارات در آن، تابعی از تغییرات قیمت در سهام و اوراق قرضه می­باشد. با این توضیحات می­توانیم مسئله بهینه­یابی پویای تصادفی الگوی تخصیص منابع را به صورت زیر بیان کنیم:

 

 

که در آن  نرخ تنزیل استفاده شده برای محاسبه ارزش حال سودهای آینده بانک است. نکته­ای که وجود دارد این است که مسئله بهینه­سازی تصادفی بالا دارای دو متغیر وضعیت  و  می‌باشد که معادله دیفرانسیل تصادفی هر یک به عنوان یک قید تصادفی در مدل وارد شده است.

وجود چند متغیر کنترل مدل را پیچیده نخواهد کرد؛ اما افزایش تعداد متغیرهای وضعیت کار را برای محاسبه و حل مدل بسیار سخت­تر می­نماید. در حالت عادی یعنی یک مدل بهینه‌یابی تصادفی با یک متغیر وضعیت و یک متغیر کنترل، ما شاهد پیچیدگی­های قابل توجه در محاسبات هستیم که در مسئله فوق این پیچیدگی­ها چند برابر خواهد شد؛ زیرا ما درگیر مشتقات جزیی پیچیده­تر و معادلات دیفرانسیل متعدد خواهیم بود که از قابلیت فهم مدل می‌کاهد. یکی از نوآوری­های مهم تحقیق حاضر، ساده کردن مدل با حفظ اطلاعات اصلی آن است. با ترکیب دو متغیر وضعیت و استفاده از روابط ساختاری توضیح داده شده، مسئله اصلی تحقیق به صورت زیر بیان می­گردد:

 

 

در این مسئله نسبت به مسئله قبل متغیرهای کنترل  و  اضافه شده است که بیانگر سهم هر یک از تسهیلات می­باشند. بانک می­تواند با کنترل این دو متغیر و تغییر آن­ها با استفاده از ابزار در اختیار خود مستقیما میزان سودآوری خود را تغییر دهد. کامین و شوارتز[11] (2012) هم در کتاب خود و در مسئله تخصیص ثروت شخصی بین مصرف جاری و سرمایه‌گذاری در زمینه­های جنبی، سهمی از ثروت را که به صورت دارایی ریسکی اختصاص یافته است به عنوان متغیر کنترل در نظر گرفته است که مشابه همین کاری است که ما در اینجا در مورد متغیرهای کنترل انجام داده‌ایم. همچنین بر خلاف مسئله قبل، که دو متغیر وضعیت داشتیم، در اینجا فقط یک متغیر وضعیت داریم که آن هم  یعنی کل تسهیلات بانک می‌باشد. نکته دیگری که در این مسئله وجود دارد این است که در قید این مسئله معادله دیفرانسیل متغیر وضعیت متاثر از دو نوع فرایند تصادفی براونی می­باشد که مربوط به دو نوع متفاوت از تسهیلات بانک می­باشد.

3-2. حل مسئله

همان‌گونه که در مبانی نظری بیان شد، زمانی که مسئله بهینه­یابی دارای قید به صورت معادله دیفرانسیلی باشد و این معادله شامل فرایند تصادفی براونی باشد، دیگر نمی­توان این‌گونه مسائل را با استفاده از روش حساب تغییرات و اصل ماکزیمم حل نمود و باید از روش برنامه‌ریزی پویا استفاده کرد. لذا در اینجا هم چون مسئله نهایی شامل قید تصادفی می­باشد، باید از روش برنامه‌ریزی پویا که استفاده از معادله بلمنمی­باشد، استفاده نمود. معادله بلمن متناسب با مسئله فوق را می­توان به صورت زیر استخراج نمود:

 

با قرار دادن تابع اصلی و جایگزینی عبارات معادل ، و  در معادله بلمن یاد شده در معادله فوق به معادله بلمن[12] متناسب با مسئله نهایی مقاله دست خواهیم یافت که به صورت زیر می­باشد(به منظور ساده­تر شدن مدل ضریب همبستگی متغیرهای تصادفی برابر صفر در نظر گرفته شده است):

 

در صورتی که بخواهیم مسئله نسبت به متغیرهای کنترل ماکزیمم باشد، باید از رابطه فوق نسبت به این متغیرها مشتق جزیی بگیریم، سپس برابر صفر قرار داده و مقادیر به‌دست آمده را در معادله فوق جایگزین نمایم. با مشتق­گیری جزیی نسبت به متغیرهای کنترل خواهیم داشت:

 

حال این مقادیر بهینه را در معادله بلمن جای‌گذاری نموده و برای حل آن می­توان از روش­های حل معادلات با مشتقات جزیی در حالت­های خاص استفاده نمود (پورکاظمی، 1393: 446-458). یک روش برای حل معادله فوق با توجه به صورت معادله، استفاده از روش ضرایب نامعین می‌باشد. در این روش، حل ابتدا جواب را با ضرایب نامعین حدس زده و این جواب را با ضرایب نامعین در معادله برده و از اتحاد طرفین، ضرایب نامعین را تعیین می­کنیم (پورکاظمی، 1393: 452)؛ به این صورت که می­توان حدس زد که تابع هدف دارای عبارتی درجه دوم بر حسب  و یک عبارت نمایی بر حسب  می­باشد، لذا جواب خصوصی را به صورت زیر می­توان نوشت:

 

 

به منظور محاسبه ضرایب ،  و  مشتق­های جزیی  ،  و را به صورت زیر محاسبه نموده و در معادله بلمن نهایی جای‌گذاری می­کنیم و ضرایب بر حسب پارامترها تعیین می­گردند.

 

 

 

 

حال با مشخص شدن مقادیر مشتقات جزیی به صورت فوق، می­توان مقدار بهینه متغیرهای کنترل را به صورت زیر تعیین نماییم:

 

 

با جای‌گذاری مقادیر بهینه متغیرهای کنترل در معادله دیفرانسیل حرکت و با استفاده از فرمول ایتو می­توانیم مقدار بهینه متغیر وضعیت یعنی  را در هر لحظه از زمان به دست آوریم (هانسون[13]، 2007: 250) که به صورت زیر خواهد بود:

 

 

4. شبیه­سازی مدل با استفاده از داده­های واقعی

به منظور به دست آوردن مسیر زمانی بهینه  به صورت عددی می­توان از روش شبیه­سازی اولر- مارویاما^[14]استفاده نمود؛ به این صورت که اگر صورتکلی معادله دیفرانسیل تصادفی به شکل زیر را در نظر ­بگیریم:

 

فرایند تصادفی وینر  با استفاده از مجموعه­ای تجمعی تغییرات افزایشی که از توزیع نرمال تولید می­شوند، ایجاد می­شود با توجه به اینکه تغییرات افزایشی فرایند  از زمان  تا زمان  یعنی  را می­توان به صورت زیر نوشت:

=

که در آن  و  یک بازه زمانی کوچک است. به این ترتیب برای شبیه­سازی فرایند ، مقادیر  را از توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس  با استفاده از اعداد تصادفی از توزیع نرمال استاندارد بر اساس رابطه  شبیه­سازی می‌نماییم؛ بدین ترتیب، اگر مقدار فرایند   در زمان  را داشته باشیم، مقدار فرایند در زمان   برای  به صورت زیر تقریب زده می­شود:

=

که در آن  می‌باشد؛ بنابراین با انجام این فرایند شبیه­سازی به مسیر فرایند  بر بازه زمانی مورد علاقه می­رسیم (هانسون، 2007: 250). لازمه انجام شبیه­سازی براساس روش یاد شده برآورد عددی پارامترهای موجود در مسئله می­باشد. به منظور تعیین مقدار عددی پارامترهای موجود در مسئله از آمارهای ماهانه یکی از بانک­های ایران در طول دو سال (24 ماه) استفاده شده است. در ادامه به معرفی و نحوه تعیین پارامترها می­پردازیم.

4-1. پارامترهای مسئله

برای به دست آوردن مقادیر عددی پارامترهای مدل مقاله از داده­های ماهانه یکی از بانک­های ایران استفاده شده است که به درخواست این بانک نام آن در مقاله ذکر نمی­شود. این داده­ها مربوط به 24 ماه می­باشد. بنابراین، مسیر زمانی که در این مقاله بهینه‌یابی می­شود، دو سال یا 24 ماه می­باشد. مقدار عددی پارامترها در جدول زیر قابل مشاهده است.

 

جدول 1. مقادیر عددی پارامترهای مورد استفاده در مدل تحقیق

مقدار	نام پارامتر	مقدار	نام پارامتر
	0/0045		0/144
	0/0055		0/283
	0/0167		0/015
	0/019		0/0175
	0/0004		0/0024
	0/0144		6/59E-11
	1/5		1/05
	5/46E-09		0/75

منبع: یافته­های تحقیق

4-2. تعیین مسیر بهینه متغیرهای مدل

حال که مقادیر عددی پارامتر مدل مقاله تعیین شدند، نوبت به تعیین مسیر بهینه متغیرهای وضعیت و کنترل می­رسد. اولین و اصلی­ترین متغیری که به تعیین مسیر بهینه آن می­پردازیم،  است. برای تعیین مسیر بهینه  از روش شبیه­سازی اولر- مارویاما استفاده می­نماییم. با توجه به رابطه دیفرانسیلی مدل، خواهیم داشت:

=

با جای‌گذاری مقادیر عددی پارامترها، به رابطه نهایی جهت تعیین مسیر بهینه دست می‌یابیم. به این منظور، طبق روش شبیه­سازی اولر- مارویاما باید فرایندهای وینر به طور مجزا در بازه­های زمانی کوچک ساخته شوند و با استفاده از آن­ها مسیر بهینه  به دست می‌آید.مقدار اولیه  را برابر 83 میلیارد و بازه­ای 24 دوره­ای (معادل دوسال) را در نظر می‌گیریم . برای تقریب دقیق­تر، بازه زمانی شبیه­سازی را به  زیر بازه تقسیم می­کنیم؛ در نتیجه  خواهد بود. مقادیر  را از توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس  وبا استفاده از اعداد تصادفی از توزیع نرمال استاندارد براساسرابطه  شبیه­سازی می‌نماییم. بدین ترتیب اگر مقدار فرایند  در زمان  را داشته باشیم، مقدار فرایند در زمان برای  به دست می­آید. تمام شبیه­سازی­های انجام شده در مقاله با استفاده از نرم‌افزار Matlab صورت گرفته است.

4-3. شبیه­سازی مسیر بهینه تسهیلات بانک

با جای‌گذاری مقداری عددی پارامترها و استفاده از روش شبیه­سازی اولر- مارویاما، اکنون می‌توانیم مسیر بهینه متغیر وضعیت مدل یعنی تسهیلات بانک را شبیه­سازی نماییم. مسیر بهینه تسهیلات در طول یک دوره 24 ماهه (دوساله) در شکل زیر مشخص می­باشد:

 

     

نمودار 1. مسیر بهینه تسهیلات بانک

   منبع: یافته‌های تحقیق                       

   

با مشخص شدن مسیر بهینه متغیر وضعیت، اکنون می­توانیم مسیر بهینه متغیرهای کنترل، یعنی سهم بهینه هر یک از انواع تسهیلات را استخراج نماییم. با استخراج این سهم­ها و ضرب آن­ها در مقدار بهینه تسهیلات، می­توان مسیر زمانی بهینه هر یک از انواع تسهیلات را بدست آورد، که در شکل زیر قابل مشاهده می­باشد.

 

 

نمودار 2. مسیر بهینه انواع مختلف تسهیلات

         منبع: یافته­های تحقیق

4-4. مقایسه نتایج مدل با داده­های واقعی

به منظور مقایسه نتایج به دست آمده از مدل با داده­های واقعی، در این قسمت نمودارهای مربوط به داده­های واقعی تسهیلات یکی از بانک­های ایران در طول مدت دو سال را با نتیجه استخراج­شده از مدل مورد مقایسه قرار می­دهیم. از آنجا که مقیاس مورد استفاده در مدل بر حسب ماه می­باشد، بر همین اساس و به منظور قابلیت مقایسه نتایج، داده­های ماهانه بانک انصار در تسهیلات مشارکتی و مبادله‌ای را مورد استفاده قرار داده­ایم که در شکل زیر قابل مشاهده می­باشد.

 

 

نمودار 3. نمودار تسهیلات مشارکتی و مبادله‌ای براساس داده‌های واقعی

          منبع: سایت بانک انصار

 

همان گونه که قابل مشاهده است، روند تسهیلات مشارکتی براساس داده­های واقعی، تطابق بیشتری با مسیر بهینه دارد و نقطه شروع و انتهای هر دو تقریبا با هم برابر می­باشد. یکی از دلایل تفاوت نوسانات مسیر بهینه با مسیر واقعی، نحوه استخراج داده­های ماهانه بانک می‌باشد به این صورت که داده­های ماهانه بانک بصورت تقسیم تفاضل یکسان در طول دوره می­باشد و این امر مسیر واقعی نوسانات را نشان نخواهد داد.

نکته دیگری که از مقایسه مسیر واقعی و مسیر بهینه به آن می­توان اشاره کرد تشابه نوسانات محدود تسهیلات مبادله­ای می­باشد که در هر دو شکل قابل مشاهده می­باشد. از طرفی تفاوت قابل ملاحظه دو نوع تسهیلات نیز در هر دو مسیر واقعی و بهینه قال مشاده می‌باشد. اما تفاوت اصلی مسیر بهینه و مسیر واقعی تسهیلات مبادله­ای در این است که مسیر بهینه دارای رشد خفیف بوده اما مسیر واقعی بر خلاف آن دارای نزول خفیف می­باشد. توجیه این امر مربوط می­شود به سیاست­های دستوری بانک مرکزی، مبنی بر قرار دادن سقف پایینترسود برای تسهیلات مبادله­ای برای بانک­ها می­باشد که این امر باعث شده که بانک­ها بر خلاف شرایط باز و رقابتی بازار، بصورت قابل ملاحظه­ای از سهم تسهیلات مبادله­ای کاسته و به سمت تسهیلات مشارکتی که دارای سود بالاتری می­باشد، تمایل پیدا کنند.

4-5. تحلیل حساسیت پارامترهای مدل

یکی از ویژگی­های خوب این نوع مدل­سازی، امکان تحلیل حساسیت پارامترهای مدل می‌باشد. به این صورت که مدیران بانک می­توانند با انجام تحلیل حساسیت روی پارامترهای موجود نسبت به شناسایی سیاست­های بهینه اقدام نمایند. در این قسمت از مقاله با توجه به آمارهای واقعی بانک و وضعیت موجود سیستم بانکی ایران برخی پارامترها را تغییر داده و به تحلیل نتایج به دست­آمده می‌پردازیم. پارامترهای تغییر یافته به شرح زیر می­باشند:

 

جدول 2. مقادیر قبل و بعد پارامترها جهت تحلیل حساسیت

مقدار جدید	مقدار قبلی	نام پارامتر
	0/0167	0/01
	0/019	0/017
	0/0055	0/0045
	1/5	1/05
	0/283	0/144

منبع: یافته­های تحقیق

 

با این توضیح که سودهای انتظاری هر یک از عقود با توجه به مقدار واقعی تحقق یافته آن­ها در بانک یاد شده جایگزین شده است. هزینه تخصیص تسهیلات بازدهی متغیر، نوسانات و ریسک سود آن متناسب با شرایط فعلی نظام بانکداری ایران برابر با تسهیلات مبادله­ای در نظر گرفته شده است. با توجه به این تغییرات مسیر بهینه تسهیلات مبادله­ای و مشارکتی به صورت زیر تغییر یافته است.

 

 

 

نمودار 4. مسیر بهینه انواع مختلف تسهیلات بعد از تغییر پارامترها

   منبع: یافته­های تحقیق  

 

همان گونه که در نمودار بالا مشخص است با کاهش نسبی ریسک در تسهیلات بازدهی متغیر و اختلاف معنادار سود آن با تسهیلات بازدهی ثابت، سهم تسهیلات بازدهی متغیر به مقدار قابل توجهی افزایش یافته و بالاتر از تسهیلات بازدهی ثابت قرار گرفته است. به بیان دیگر، هر چقدر میزان سود انتظاری یک نوع تسهیلات افزایش و میزان ریسک و نوسان آن کاهش یابد، سهم بیشتری از تسهیلات را به خود اختصاص می­دهد.

 

5. نتیجه­گیری

یکی از تفاوت­های اساسی و بنیادین بانکداری اسلامی با بانکداری متعارف، حذف بهره و جایگزینی عقود تخصصی در فعالیت­های بانک می­باشد. ورود این عقود با ویژگی­ها و شرایط عملی مختص به خود، منجر به ایجاد یک نوع دشواری و پیچیدگی در طراحی الگو و مدل‌سازی ریاضی آن شده است. به همین دلیل، مدل­سازی عملکرد بانک در قالب یک الگوی اسلامی با بیان همه ویژگی­های آن، به راحتی امکان­پذیر نمی­باشد و کارهای انجام شده در این زمینه بسیار محدود و ناقص می­باشد. یکی از نتایج مهم تحقیق حاضر، طراحی یک مدل ریاضی با درج جزئیات لازم در بخش تخصیص منابع بانکداری اسلامی می­باشد که نتیجه آن وجود چندین متغیر کنترل و وضعیت می­باشد. طبیعتا تشکیل مسئله ریاضی، به تنهایی مفید فایده نخواهد بود، بلکه طراحی مدل زمانی ارزشمند است که قابل حل باشد. خوشبختانه در تحقیق حاضر با استفاده از محاسبات پیچیده و دقیق و تعریف توابع میانی، مقدار بهینه تمامی متغیرهای کنترل و وضعیت براساس پارامترهای موجود، مشخص شده است و برای بدست آوردن مقادیر عددی این متغیرها کافی است براساس عملکرد بانک دردنیای واقعی، این پارامترها استخراج شوند.

یکی دیگر از نتایج، ویژگی توسعه­ای بودن آن است. ورود به مسئله مدل­سازی عملکرد بانکداری اسلامی در مجامع علمی بسیار محدود و ناقص بوده و تحقیق حاضر می­تواند منبعی مهم و راهبردی برای تحقیقات آتی باشد. در نهایت، خاطر نشان می­شود که تحقیق حاضر یک نقطه شروع در زمینه مدل­سازی ریاضی عملکرد بانک می­باشد. یقینا با ورود دیگر محققان به این عرصه، این الگو کاملتر شده و ایرادات احتمالی آن مشخص و رفع می­شود و نهایتا می‌تواند به عنوان یک الگوی جدید و مترقی مورد استفاده سیستم بانکی کشور عزیزمان قرار گیرد و به عنوان یک نماد از تمدن غنی ایرانی اسلامی در معرض دیگر کشورها قرار گرفته و مورد الگوبردای آن­ها قرار گیرد.

---

[1] Chiang

[2]  نمایش کلاسی از همه پیشامدهای ممکن در  تا قبل از زمان  می­باشد و دارای ساختار اطلاعاتی کمتری می­باشد لذا . و اگر  باشد  دارای اطلاعات کمتری از  است یعنی:

[3] Berteskas

[4] Tuovila

[5] Halim

[6] Chakroun and Abid

[7] Mukuddem-Petersen

[8] Allen

[9] Tsay

[10] Merton

[11] Kamien and Schwartz

[12] Belman

[13] Hanson

[14] Euler-Maruyama (EM) Simulations method

 

مراجع

منابع

-      پورکاظمی، محمدحسین (1393). بهینه­سازی پویا، کنترل بهینه و کاربردهای آن.انتشارات دانشگاه شهید بهشتی، تهران.

-      چیانگ، آلفا. سی. (1387). اصول بهینه­یابی پویا. ترجمه: شاکری، عباس، اهرابی، فریدون انتشارات دانشگاه علامه طباطبایی: تهران.

-      فرهنگ، امیرعلی، اثنی­عشری، ابوالقاسم، ابوالحسنی هستیانی، اصغر، رنجبرفلاح، محمدرضا، بیابانی، جهانگیر (1395). درآمد غیر بهره­ای، ریسک و سودآوری در صنعت بانکداری. فصلنامه مدلسازی اقتصادی. 10 (3(35)): 70-47.

-      محمودیان، یعقوب، ابوالحسنی هستیانی، اصغر، پورکاظمی، محمدحسین، ندری، کامران  (1396). ارزیابی تجهیز منابع در بانکداری بدون ربای ایران و مدل­سازی الگوی جایگزین (با استفاده از روش­های بهینه­یابی پویای تصادفی)، فصلنامه مجلس و راهبرد، 24(91): 403-371.

-      محمودیان، یعقوب، ابوالحسنی هستیانی، اصغر، پورکاظمی، محمدحسین، ندری، کامران  (1396). مقادیر بهینه کارمزد و سطح سپرده­ها در بانکداری اسلامی، فصلنامه اقتصاد اسلامی، 17(66): 189-159.

-      موسویان، سیدعباس، ابوالحسنی هستیانی، اصغر، حسنی مقدم، رفیع (1393). تعیین سهم بهینه عقدهای مبادله­ای و مشارکتی در بانکداری بدون ربا.فصلنامه اقتصاد اسلامی. 14(53): 98-85.

-      Allen, E. (2007). Modeling with Itô stochastic differential equations (Vol. 22). Springer Science & Business Media.

-      Bertsekas, D. P. (1995). Dynamic programming and optimal control (Vol. 1, No. 2). Belmont, MA: Athena scientific.

-      Chakroun, F., &Abid, F. (2014). Dynamic asset allocation for bank under stochastic interest rates.

-      Halim, B. A., Karim, H. A., Fahami, N. A., Mahad, N. F., Nordin, S. K. S., & Hassan, N. (2015). Bank financial statement management using a goal programming model. Procedia-social and behavioral sciences, 211, 498-504.

-      Hanson, F. B. (2007). Applied stochastic processes and control for Jump-diffusions: modeling, analysis, and computation (Vol. 13). Siam.

-      Kamien, M. I., & Schwartz, N. L. (2012). Dynamic optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management. Courier Corporation.

-      Mukuddem-Petersen, J., & Petersen, M. A. (2006). Bank management via stochastic optimal control. Automatica, 42(8), 1395-1406.

-      Mukuddem-Petersen, J., Petersen, M. A., Schoeman, I. M., & Tau, B. A. (2007). Maximizing banking profit on a random time interval. Journal of Applied Mathematics, 2007.

-      Merton, R. C. (1973). Theory of rational option pricing. The Bell Journal of economics and management science, 141-183.

-      Tuovila, H. (2016). Optimised Strategies for Dynamic Asset Allocation.

-      Tsay, R. S. (2005). Analysis of financial time series (Vol. 543). John Wiley & Sons.