بررسی تاثیر ارزش معاملات خرد سهام بر شاخص کل بورس ایران

اقتصاد مالی

دوره 18، شماره 66، فروردین 1403، صفحه 409-434   

نوع مقاله: علمی پژوهشی

شناسه دیجیتال (DOI): 10.30495/fed.2024.709379

نویسندگان

رضا فلاح مقدم^{* 1}؛ سامان بابایی کفاکی²

¹گروه آموزش ریاضی، دانشگاه فرهنگیان،تهران،ایران

²گروه آمار و علوم کامپیوتر ، دانشکده ریاضی، ، دانشگاه سمنان، سمنان، ایران

چکیده

چکیده
ارزش معاملات خرد سهام (سهام+ ‌حق تقدم+‌ صندوق‌های سهامی) از کسر کردن ارزش معاملات بلوکی سهام ‏از ارزش معاملات کل سهام در بورس ایران به دست می‌آید. این تحقیق شامل دو بخش اصلی می‌باشد. با توجه ‏به اهمیت مدل قیمتی بلک-شولز در مباحث ریاضیات مالی، با استفاده از ابزارهای عمیق ریاضی اعم از آنالیز غیر ‏خطی، آنالیز تصادفی، لم ایتو و مشتق رادون- نیکودیم، به یک نتیجه نظری ریاضی در مورد مدل قیمت بلک - ‏شولز دست یافتیم. قضیه 1 در فصل (4)، در حقیقت یک رابطه عمیق نظری ریاضی برای پیش ‌بینی قیمت در آینده ‏است. همچنین از نتایج حاصل از این قضیه برای بررسی روند ارزش معاملات خرد سهام در بورس ایران در ‏بازه‌های زمانی آتی استفاده شد. دومین موضوع مورد بحث ما در این مقاله، بررسی تاثیر تغییرات ارزش معاملات ‏خرد سهام بر شاخص کل بورس ایران با استفاده از مدل‌سازی و ابزارهای ریاضی اعم از مدل بلک-‌ شولز، ‏ابزارهای تحلیل تکنیکال مالی، روش‌های آماری و آزمون نمای هرست می‌باشد. ‏
نظریه‌های بزرگ ریاضی همواره کوشیده‌اند تا با ایجاد مدل‌های فراگیر و قضیه‌های جامع، ابزارهایی به وجود آورند ‏که قابل استفاده در حل مسایل علوم دیگر باشند. هدف از این تحقیق آن است که با ارایه نگرشی جدید با استفاده ‏از مدل‌های ریاضی و ابزارهای مالی، به بررسی تغییرات داده‌های ارزش معاملات خرد سهام و تاثیر آن بر روی ‏شاخص کل بورس ایران بپردازیم. بررسی نظری مدل قیمتی بلک - شولز در همین راستا بوده است. ‏
در این مطالعه، در یک بازه حدودا هفده ماهه (که شدیدترین نوسانات تاریخ بورس ایران در آن رخ داده است)، ‏اطلاعات هفتگی میانگین حجم معاملات خرد سهام مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج حاصل از این تحقیق ‏موید این مطلب هستند که با افزایش یا کاهش شاخص کل بورس ایران شاهد روندی مشابه در ارزش معاملات ‏خرد سهام هستیم. همچنین با استفاده از آزمون نمای هرست نشان دادیم که ارزش معاملات خرد سهام روند دار است 

کلیدواژه‌ها

واژه‌های کلیدی: آزمون‌های آماری؛ تحلیل تکنیکال؛ ارزش معاملات خرد سهام؛ مدل قیمت بلک-شولز. طبقه بندی JEL : C02؛ C13؛ C19؛ D19؛ F19

اصل مقاله

 

https://doi.org/10.30495/fed.2023.1958608.2697

 

بررسی تاثیر ارزش معاملات خرد سهام بر شاخص کل بورس ایران

 

تاریخ دریافت: 23/09/1402                  تاریخ پذیرش: 10/11/1402

رضا فلاح مقدم*[1] سامان بابایی کفاکی[2]

 

چکیده

ارزش معاملات خرد سهام (سهام+ ‌حق تقدم+‌ صندوق‌های سهامی) از کسر کردن ارزش معاملات بلوکی سهام ‏از ارزش معاملات کل سهام در بورس ایران به دست می‌آید. این تحقیق شامل دو بخش اصلی می‌باشد. با توجه ‏به اهمیت مدل قیمتی بلک-شولز در مباحث ریاضیات مالی، با استفاده از ابزارهای عمیق ریاضی اعم از آنالیز غیر ‏خطی، آنالیز تصادفی، لم ایتو و مشتق رادون- نیکودیم، به یک نتیجه نظری ریاضی در مورد مدل قیمت بلک - ‏شولز دست یافتیم. قضیه 1 در فصل (4)، در حقیقت یک رابطه عمیق نظری ریاضی برای پیش ‌بینی قیمت در آینده ‏است. همچنین از نتایج حاصل از این قضیه برای بررسی روند ارزش معاملات خرد سهام در بورس ایران در ‏بازه‌های زمانی آتی استفاده شد. دومین موضوع مورد بحث ما در این مقاله، بررسی تاثیر تغییرات ارزش معاملات ‏خرد سهام بر شاخص کل بورس ایران با استفاده از مدل‌سازی و ابزارهای ریاضی اعم از مدل بلک-‌ شولز، ‏ابزارهای تحلیل تکنیکال مالی، روش‌های آماری و آزمون نمای هرست می‌باشد. ‏

نظریه‌های بزرگ ریاضی همواره کوشیده‌اند تا با ایجاد مدل‌های فراگیر و قضیه‌های جامع، ابزارهایی به وجود آورند ‏که قابل استفاده در حل مسایل علوم دیگر باشند. هدف از این تحقیق آن است که با ارایه نگرشی جدید با استفاده ‏از مدل‌های ریاضی و ابزارهای مالی، به بررسی تغییرات داده‌های ارزش معاملات خرد سهام و تاثیر آن بر روی ‏شاخص کل بورس ایران بپردازیم. بررسی نظری مدل قیمتی بلک - شولز در همین راستا بوده است. ‏

در این مطالعه، در یک بازه حدودا هفده ماهه (که شدیدترین نوسانات تاریخ بورس ایران در آن رخ داده است)، ‏اطلاعات هفتگی میانگین حجم معاملات خرد سهام مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج حاصل از این تحقیق ‏موید این مطلب هستند که با افزایش یا کاهش شاخص کل بورس ایران شاهد روندی مشابه در ارزش معاملات ‏خرد سهام هستیم. همچنین با استفاده از آزمون نمای هرست نشان دادیم که ارزش معاملات خرد سهام رونددار ‏است. ‏واژه‌های کلیدی: آزمون‌های آماری؛ تحلیل تکنیکال؛ ارزش معاملات خرد سهام؛ مدل قیمت بلک-شولز.

طبقه بندی JEL : C02,C13 ,C19,D19 ,F19

1- مقدمه

پیش‌بینی آینده بازارهای مالی[3]، به ویژه تعیین آینده روند شاخص‌های بازار سهام[4]، یکی از مباحث مهم برای تحلیلگران و مدیران ارشد در زمینه امور مالی است.  مبتنی بر همین نگرش، این تحقیق در دو بخش اصلی تهیه شده است. در بخش اول که نتایج اصلی آن تحت عنوان قضیه 1 در فصل (4) بیان شده است، به بحث و بررسی در مورد مدل بلک-‌ شولز[5]، پرداخته‌ایم. این مدل نقش اساسی و محوری در موفقیت مهندسی مالی در دهه‌های ۱۹۸۰ و ۱۹۹۰ داشته است. همچنین این رابطه رونق زیادی را در معاملات اختیار معامله[6]، ایجاد کرد و به‌طور علمی به این نوع معاملات در سراسر جهان مشروعیت بخشید. این مدل تأثیر زیادی در نحوة قیمت گذاری و پوشش ریسک اختیار معامله داشته است. بر همینن اساس، با استفاده از ابزارهای عمیق ریاضی اعم از آنالیز غیر خطی[7]، آنالیز تصادفی[8]، لم ایتو[9]، و مشتق رادون- نیکودیم[10]، به یک نتیجه نظری ریاضی در مورد مدل قیمت بلک - شولز دست یافتیم. قضیه 1 در فصل (4)، در حقیقت یک رابطه عمیق نظری ریاضی برای پیش‌بینی قیمت در آینده است .همچنین از نتایج حاصل از این قضیه برای بررسی روند ارزش معاملات خرد سهام در بورس ایران در بازه‌های زمانی آتی استفاده شد.

امروزه، ابزارهای محاسباتی متنوعی جهت پیش‌بینی آینده روند بازارهای مالی مورد استفاده قرار می‌گیرند. شاخص کل بورس ایران یا همان شاخص قیمت و بازده نقدی[11]، ‌شاخصی است که بیانگر سطح عمومی قیمت و سود سهام شرکت‌های پذیرفته شده در بورس است. به عبارت دیگر تغییرات ‌شاخص کل بیانگر میانگین بازدهی سرمایه‌گذاران در بورس است. شاخص کل بورس ایران از دیدگاه‌های متفاوتی در سال‌های اخیر مورد بحث و بررسی قرار گرفته است. برای مطالعه بیشتر، می‌توانید به مراجعی نظیر (زمانیان و همکاران، 1396)، (شکوه و همکاران، 1396) و (فدایی‌نژاد و فراهانی، 1396) مراجعه فرمایید. دومین موضوع مورد بحث ما در این مقاله، بررسی تاثیر تغییرات ارزش معاملات خرد سهام بر شاخص کل بورس ایران با استفاده از مدل‌سازی و ابزارهای ریاضی اعم از مدل بلک-‌ شولز، ابزارهای تحلیل تکنیکال[12]، روش‌های آماری[13] و آزمون نمای هرست[14]می‌باشد.

همواره رابطه مستقیمی بین تغییرات شاخص کل بورس و تعداد کل سهام معامله شده وجود دارد. به عبارت دیگر با افزایش شاخص کل بورس، شاهد افزایش تعداد سهام معامله شده در اکثر شرکت‌های سهامی هستیم. همچنین با کاهش شاخص کل بورس شاهد روند کاهشی در تعداد سهام معامله شده می‌باشیم. بنابراین به نظر می‌رسد بررسی تغییرات تعداد سهام معامله شده، عاملی تاثیرگذار برای بررسی روند شاخص کل بورس ایران باشد. اما در مورد بررسی این موضوع مشکلات متعددی وجود دارند. به طور مثال سالانه در فرآیند افزایش سرمایه[15] شاهد تغییر تعداد کل سهام یک شرکت هستیم. مساله دیگری که اینجا حایز اهمیت است میزان سهام شناور[16] یک شرکت است. این عامل به معنای تعداد سهام قابل معامله یک شرکت، عددی متغیر است. همچنین تعدد شرکتها و تغییرات در تعداد شرکتهای حاضر در بورس ایران یکی دیگر از مشکلات موجود در این موضوع می‌باشد. تجربه ثابت کرده است که معاملات بلوکی[17] و عمده سهام که معمولا بین سرمایه‌گذاران کلان بازار سهام رخ می‌دهند، به دور از شرایط هیجانی انجام می‌پذیرند. ارزش معاملات خرد[18] سهام (سهام+ ‌حق تقدم+‌ صندوق‌های سهامی) از کسر کردن ارزش معاملات بلوکی و عمده از ارزش معاملات کل سهام در بورس ایران به دست می‌آید. عملا ارزش معاملات خرد سهام به عنوان تلفیقی از داده‌های قیمت و تعداد سهام معامله شده می‌باشد. تلااش نظریه‌های بزرگ ریاضی آن است که با ایجاد مدل‌های فراگیر و قضیه‌های جامع، ابزارهایی به وجود آورند که قابل استفاده در حل مسایل علوم دیگر باشند. هدف از این تحقیق آن است که با ارایه نگرشی جدید با استفاده از مدل‌های ریاضی و ابزارهای مالی، به بررسی تغییرات داده‌های ارزش معاملات خرد سهام و تاثیر آن بر روی شاخص کل بورس ایران بپردازیم. مثلا به طور خاص سعی کردیم تا به یک نتیجه نظری ریاضی بر روی مدل بلک - شولز دست یابیم و از نتایج آن جهت بررسی داده‌های ارزش معاملات خرد سهام بهره گیریم.

 

2- پیشینه پژوهش

فرضیه بازار کارا[19] (فاما[20]، 1965)، به طور گسترده‌ا‌ی در ادبیات مربوط به بازارهای مالی مورد بحث قرار گرفته است. این فرضیه ادعا می‌کند که تمام اطلاعات مربوط به یک دارایی ریسکی مانند سهام در قیمت آن موجود است. اگر قیمت قابل پیش‌‌بینی باشد، سرمایه‌گذاران می‌توانند برای دستیابی به بازده مازاد سرمایه‌گذاری، استراتژی‌های مناسب را اجرا کنند، در حالی که در یک بازار کارا، قیمت دارایی قابل پیش بینی نیست (نارایان[21]، 2007). یک دیدگاه در مورد غیرقابل پیش‌بینی بودن قیمت این است که قیمت از یک فرایند گام تصادفی[22] پیروی می‌کند، یعنی مانا[23] نیست. بنابراین، اگر قیمت مانا باشد، این بدان معنی است که قابل پیش‌بینی است و بهترین پیش‌بینی برای آن میانگین بلندمدت است (ویلموت[24]، 2005). اخیرا در مرجع (مهاجر و اوقر، 2021) ، نویسندگان با ارزیابی شهودی تغییرات قیمت در کنار روندهای میانگین متحرک[25] بلند مدت و میان‌مدت آن نشان دادند که مقادیر قیمت پس از جهش‌های شدید، تمایل بالایی به بازگشت به میانگین خود دارند. در این زمینه تحقیقات متنوعی صورت پذیرفته است. برای مطالعه بیشتر به مراجع (گبنرو و موسی[26]، 2019)، (پالواشا و همکاران[27]، 2018)، (روزگار و همکاران، 2018) و (شایک و ماهسوارن[28]، 2018) مراجعه شود.

ارزش معاملات، در حقیقت به نوعی بیانگر تغییرات قیمت نیز هست. ارزش معاملات بسیار بالا بعضا به این معنی است که تعداد دفعات معامله یک سهم بالا رفته است. ارزش معاملات یک سهام در یک روز یا در یک هفته معاملاتی علاوه بر عامل قیمت یک سهام، بیانگر رفتار معاملاتی معامله‌گران نیز هست. افزایش قیمت‌ها و کاهش حجم معاملاتی یک هشدار برای معکوس شدن احتمالی خط روند است. اگر قیمت‌ها صعودی باشد و کاهش جزئی در حجم معاملات مشاهده شود، این امر نشانه قوی برای معکوس شدن بازار نیست. در حقیقت افزایش یا کاهش قیمت با حجم خیلی زیاد یک نشانه قوی را صادر می‌کند. افزایش حجم معاملات در بورس می‌تواند هم‌زمان هم به معنای خروج نقدینگی و هم به معنای ورود آن باشد. بررسی دقیق‌تر در این خصوص نشان‌دهنده‌ صحت هر یک از این دو امر است. بر همین اساس باید به این نکته توجه کرد که این میزان حجم در راستای خرید سهام بوده است یا فروش آن. برای این کار باید در خرید و فروش سهام به تعداد معامله‌کنندگان توجه کنیم. چنانچه حجم معاملات بالا ولی تعداد خریداران کمتر بود، به معنای آن است که در این سهم ورود پول هوشمند[29] رخ داده است. به علاوه، باید به قیمت روز سهم هم  توجه کرد. در ورود پول هوشمند، قیمت روز سهم مثبت است. از سوی دیگر زمانی که حجم معاملات در بورس زیاد اما تعداد فروشندگان کمتر است، خروج پول هوشمند در حال رخ دادن است. در چنین شرایطی قیمت روز سهم هم در بازه‌ منفی قرار دارد. طبق نظر کارپوف[30]، می‌توان چهار دلیل برای اهمیت عامل ارزش معاملات ذکر کرد. مطلب اول آن است که یافتن ارتباط بین ارزش معاملات و بازده سهام باعث ایجاد شفافیت در تشخیص فرضیه‌های مختلف در مورد ساختار بازارهای مالی خواهد شد. در یک بازار مالی، مدل‌هایی که روابط بین ارزش معاملات انجام شده روی یک سهم و همچنین قیمت آن سهم را با توجه به نحوه انتشار اطلاعات، اندازه داده‌های ورودی به بازار، حجم یک بازار مالی و شرایط ذکر شده در معاملات کوتاه‌ مدت رصد می‌کنند، مورد توجه هستند. نکته دوم آن است که میزان تغییر در عامل ارزش معاملات به نوعی نشان‌دهنده میزان اجماع معامله‌گران بر روی اخبار و داده‌های جدید است. مطلب سوم آن است که میزان و نحوه توزیع احتمالاتی قیمت‌های سفته بازی[31]، رابطه تنگاتنگی با این عامل دارد. آخرین مطلب آن است که ارزش معاملات تاثیر بسزایی برای مطالعات بازارهای آتی[32]، دارد.

اخیرا مطالعات متنعددی بر روی عامل ارزش معاملات در بورس ایران صورت گرفته است. مثلا در (نجارزاده و همکاران، 2018) ، نویسنگان با بررسی رابطه تجربی بین  ارزش معاملات و بازده سهام در بازار بورس اوراق بهادار تهران، ارتباط هم‌زمان بین ارزش معاملات و بازده سهام را تایید کرده و نیز یک ارتباط دوطرفه بین  ارزش معاملات و بازده سهام را به دست آورده اند. همچنین در مرجع (کلانتری و پاک‌تینت، 2014)، مولفان به بررسی این مساله با استفاده از زنجیرهای مارکف پرداخته‌اند. ضمنا در مرجع (صفری و بشکوه، 2019)، به بررسی نقش ارزش معاملات و نقدشوندگی بر فرصت‌های سرمایه‌گذاری و مخارج سرمایه‌ای در شرکت‌های پذیرفته شده در بورس ایران پرداخته‌اند.

هدف کلی از مدل‌سازی‌ها و نظریه‌های ریاضی ایجاد روش‌هایی است که بتواند با بررسی یک مساله به صورت نظری و کلان، به راه‌هایی برای حل آن مساله و مسایل مشابه به آن دست یابد. گاها یک قضیه جامع ریاضی این توانایی را دارد که هم‌زمان به حل انواع مسایل مختلف که دارای مدل‌های ریاضی یکسانی هستند، بپردازد. در این تحقیق مشابه نگرشی که به طور مثال در مرجع (کلانتری و پاک‌تینت، 2014)، وجود دارد، اهتمام اصلی نویسندگان بر ایجاد یک مدل ریاضی بر روی عامل ارزش معاملات خرد سهام می‌باشد. مثلا در فصل 4، سعی شد که با تعمیم و تقویت مدل قیمتی بلک-شولز، راهکاری برای استفاده از این مدل بر روی عامل ارزش معاملات خرد سهام یافت شود. گاهی اوقات، حل یک مساله مشابه به جای مساله اصلی (که ممکن پیچیدگی بیشتری داشته باشد)، به ما کمک می‌کند تا به ایده‌هایی تازه‌تری جهت حل مساله اصلی بپردازیم. در حقیقت در اینجا بکارگیری ابزارهای ریاضی برای بررسی ارزش معاملات خرد به جای شاخص کل بورس ایران به همین دلیل است. وجود عواملی مثل محدودیت تعداد سهام قابل معامله، محدودیت زمان انجام معاملات و مواردی مشابه، نکاتی هستند که می‌توانند باعث تسهیل بررسی عامل ارزش معاملات خرد سهام نسبت به شاخص کل باشند.

 

3- روش پژوهش

در این بخش به معرفی و نحوه محاسبه ابزارهای محاسباتی که در بخش‌های بعد به آنها نیاز داریم، می‌پردازیم.

 

3-1- مدل قیمتی بلک-شولز

یکی از معادلات حاکم بر معاملات اختیار خرید[33] یا فروش[34] در ریاضیات مالی، معادله دیفرانسیل بلک-شولز[35] است. امروزه، در شاخه‌های محض و همچنین در شاخه‌های کاربردی ریاضیات مالی مطالعات متنوعی بر روی این مدل قیمتی انجام شده است. اساس این مدل قیمتی بدون در نظر گرفتن سود سهام[36] بر معادله دیفرانسیل زیر استوار است.

 

که در این معادله:

 به ترتیب از چپ به راست بیانگر قیمت اختیار معامله[37]، قیمت سهام[38]، انحراف معیار قیمت سهام [39] و نرخ بهره بانکی[40] هستند. با توجه به اینکه مدل قیمتی بلک-شولز دارای توزیع حرکت تصادفی براونی هندسی[41] است، از این مدل قیمتی برای تقریب قیمت در بازارهای مالی استفاده فراوان می‌شود. در حقیقت معادله زیر برقرار است:

 

 

وقتی که:

 

 

 

به ترتیب از چپ بیانگر یک حرکت براونی، انحراف معیار قیمت سهام و نرخ افزایش سالانه قیمت سهام هستند.

یکی از قضایای عمیقی که در فصل (4) استفاده خواهیم کرد، لم ایتو است. بنابر لم ایتو:

 

 

 

 

قضیه رادون– نیکودیم نتیجه‌ای در نظریه اندازه‌گیری[42] است که رابطه بین دو معیار تعریف شده در فضای قابل اندازه‌گیری یکسانی را بیان می‌کند. در حقیقت در قضیه رادون-نیکودیم ما یک فضای اندازه‌پذیر[43]

 

را داریم که روی این فضا دو تابع از اندازه متناهی

 

وجود دارند. همچنین یک تابع اندازه‌پذیر [44]

 

که برای هر زیر مجموعه اندازه‌پذیر[45]

 

 

نوشته می‌شود و مشتق رادون-نیکودیم نامیده می‌شود. انتخاب نماد و نام تابع نشان دهنده این واقعیت است که تابع مشابه یک مشتق در حساب دیفرانسیل و انتگرال است به این معنا که نرخ تغییر چگالی[46] یک معیار را نسبت به معیار دیگر توصیف می‌کند. (در این شیوه از تعیین کننده ژاکوبین[47] استفاده می شود.) از خواص این مشتق موارد زیر قابل ذکر است.

 

 

مدل قیمت بلک-شولز یک حرکت براونی هندسی است که در معادلات زیر صدق می‌کند:

 

وقتی که:

 

 

 

به ترتیب از چپ بیانگر یک حرکت براونی، انحراف معیار قیمت سهام و نرخ افزایش سالانه قیمت سهام هستند.

 

3-2- تحلیل تکنیکال

تحلیل تکنیکال در مباحث مالی به روش تجزیه و تحلیل روند تغییر قیمت‌ها از طریق مطالعه داده‌های قیمتی گذشته اطلاق می‌شود. تحلیل‌گران تکنیکال با استدلال آنکه عرضه و تقاضا درنهایت باعث کشف قیمت می‌شود، با بررسی و مطابقت گذشته نمودار قیمت و پیدا کردن الگوهای متفاوت و تکرارشونده آینده، قیمت یک دارایی را پیش‌بینی می‌کنند. در ادامه چند اندیکاتور[48]، مورد استفاده را شرح می‌دهیم.

 

3-2-1- اندیکاتور شاخص قدرت نسبی[49]

یکی از پرطرفدارترین اندیکاتورها در کنار اندیکاتور مکدی[50]، شاخص قدرت نسبی می‌باشد که تحلیلگران زیادی از آن استفاده می‌کنند. اندیکاتور شاخص قدرت نسبی توسط ولز ویلدر[51] طراحی و توسعه یافته است. این اندیکاتور یک شاخص جهت بررسی گرایش بازار[52] و قدرت حرکت آن می‌باشد این شاخص را در دسته اسیلاتورها، به معنی نوسان کننده جای می‌‌دهند، به این مفهوم که شیوه محاسباتی آن طوری است که برای روندهای به وجود آمده در بازار سقف‌ها[53]و کف‌هایی[54] را تعیین می‌‌کند. فرمول آر اس ای شاخصی است که در بازه ۰ تا ۱۰۰ نوسان می‌کند و با برخورد این شاخص به سطوح تعیین شده که به صورت پیش‌فرض بر روی نقاط ۳۰ تا۷۰ قرار دارند، سیگنال‌های خرید و فروش صادر می‌گردند. روش محاسبه این اسیلاتور برای یک دوره   N روزه به شرح ذیل است:

 (1) میانگین تغییر مثبت قیمت‌های پایانی برای بازه N روزه = N/ (سود روز  Nام +  جمع سودهای روزهای مثبت (N-1) *))؛

(2) میانگین تغییر منفی قیمت‌های پایانی برای بازه N  روزه = N/ ( ضرر روز  Nام + (جمع ضررهای روزهای منفی (N-1) *)).

(3) (میانگین تغییر منفی قیمت‌های پایانی برای بازه‌ی N روزه / میانگین تغییر مثبت قیمت‌های پایانی برای بازه‌ی N روزه) RS=؛

(4) RS=منفعت متوسط دوره رو به بالا در بازه زمانی مشخص تقسیم بر متوسط زیان حرکت رو به پایین دارایی در یک بازه زمانی مشخص. در نهایت،

 (5) RSI = 100 – ( 100  / (1 + RS))؛

 

3-2-2- میانگین متحرک ساده (SMA)[55]

میانگین متحرک، یکی از شاخص‌های مهم با استفاده فراوان در تحلیل تکنیکال است، که با حذف نوسانات قیمتی کمک می‌کند تا سرمایه‌گذار بتواند تصویر بهتری از متوسط قیمت و روند قیمتی را ترسیم کند.

 

3-3- آزمون‌های آماری

از دیدگاه نظریه آشوب[56]، سیستم‌های پیچیده فقط ظاهری پرآشوب دارند و درنتیجه، نامنظم و تصادفی به نظر می‌رسند، در حالی که ممکن است تابع یک جریان معین یا یک فرمول ریاضی مشخص باشند (لد و وو[57]، 2009). یک سری زمانی[58] )یا فرآیند تصادفی[59]) مانای قوی[60] است اگر توزیع احتمال توام[61] آن تحت تغییر در زمان یا مکان پایا[62]  باشد. یک ویژگی مهم در سری‌های زمانی مانا این است که داده‌های این سری با سرعتی کمتر از حرکت براونی هندسی[63] انتشار می‌یابند و با اندازه‌گیری سرعت انتشار می‌توان ماهیت سری زمانی را تشخیص داد. یکی از ابزارهای مورد استفاده در این خصوص، آزمون نمای هرست است. این روش که از آن برای محاسبه نمای هرست استفاده می‌شود توسط هرست[64] در سال 1951 ابداع شد که این روش کاربرد زیادی در تجزیه و تحلیل سری‌های زمانی، مخصوصا سری‌های زمانی مالی دارد. هدف توان هرست ارائه مقیاسی است که تشخیص ویژگی بازگشت به میانگین و روند را از گام تصادفی ممکن می‌سازد. ایده محاسبه توان هرست این است که می‌توان از واریانس[65] لگاریتم داده‌ها به منظور ارزیابی نرخ انتشار استفاده کرد. این آزمون برای تمییز تصادفی از غیرتصادفی، پایداری روندها و طول دوره چرخه‌ها در بازارهای سهام استفاده می‌شود. این روش توانایی زیادی برای تشخیص سری‌های زمانی تصادفی از سری‌های زمانی فراکتالی[66] دارد.  برای تاخیر زمانی دلخواه واریانس از طریق رابطه زیر حساب می‌شود:

 

(6)                                                                         

 (7)                                              

 (8)                                                                 

 

اگر هر نوع همبستگی[67] در داده‌ها وجود داشته باشد، رابطه فوق معتبر نیست، اما درعوض می‌توان آن را به صورت زیر تعدیل نمود (چان[68]، 2013):

(9)                                                                    

 

اگر تحت این رابطه نمای هرست کمتر از 5/0 باشد، آنگاه فرآیند دارای ویژگی بازگشت به میانگین[69] است. اگر نمای هرست دقیقا برابر 5/0 شود، آنگاه فرآیند از یک فرآیند براونی هندسی پیروی می‌کند. در غیر این صورت، فرآیند یک فرآیند رونددار است. این به آن معنی است که برای مقادیر بسیار کوچک (نزدیک به صفر) فرآیند دارای تمایل بالای بازگشت به میانگین است. مقادیر بسیار بزرگ نزدیک به یک نشان‌دهنده تمایل بالای فرآیند به رونددار بودن[70] است.

 

4- یافته‌های پژوهش

میزان ارزش معاملات خرد مورد استفاده مربوط به بازه زمانی اول فروردین 1399 تا آخر آبان 1400 می‌باشد. مرجع این داده‌ها سایت سازمان بورس اوراق بهادار تهران و سامانه سنا بانک مرکزی ایران است.

 

جدول (1): میانگین ارزش معاملات هفتگی خرد سهام در بورس ایران.

زمان	ارزش معاملات خرد (میلیارد تومان)	ارزش معاملات خرد (میلیون دلار)	عدد بسته شدن هفتگی شاخص کل بورس ایران
هفته اول فروردین 1399	4444	276	547658
هفته دوم فروردین 1399	7063	435	597198
هفته سوم فروردین 1399	8223	505	645762
هفته چهارم فروردین 1399	9600	600	741960
هفته اول اردیبهشت 1399	10737	683	878093
هفته دوم اردیبهشت 1399	12639	790	977923
هفته سوم اردیبهشت 1399	15943	990	1017662
هفته چهارم اردیبهشت 1399	18020	1074	986759
هفته پنجم اردیبهشت 1399	13292	760	938557
هفته اول خرداد 1399	10882	620	1028537
هفته دوم خرداد 1399	10771	612	1153679
هفته سوم خرداد 1399	13984	791	1229673
هفته چهارم خرداد 1399	16697	922	1419453
هفته اول تیر 1399	17688	896	1612902
هفته دوم تیر 1399	18662	928	1753642
هفته سوم تیر 1399	23408	1083	1841700
هفته چهارم تیر 1399	24162	1047	1901147
هفته پنجم تیر 1399	23380	1000	1904324
هفته اول مرداد 1399	23349	1006	2034192
هفته دوم مرداد 1399	24613	1060	1975439
هفته سوم مرداد 1399	21576	988	1757229
هفته چهارم مرداد 1399	14725	647	1718783
هفته اول شهریور 1399	14120	611	1631941
هفته دوم شهریور 1399	15067	627	1556280
هفته سوم شهریور 1399	8902	358	1714108
هفته چهارم شهریور 1399	12148	456	1611582
هفته پنجم شهریور 1399	10989	404	1503426
هفته اول مهر 1399	7668	263	1540700
هفته دوم مهر 1399	9514	326	1561416
هفته سوم مهر 1399	13146	418	1412354
هفته چهارم مهر 1399	6587	221	1288330
هفته اول آبان 1399	5565	198	1290571
هفته دوم آبان 1399	6123	220	1221074
هفته سوم آبان 1399	5337	199	1345301
هفته چهارم آبان 1399	10855	410	1367248
هفته اول آذر 1399	18458	714	1470980
هفته دوم آذر 1399	19677	770	1506217
هفته سوم آذر 1399	18940	732	1413360
هفته چهارم آذر 1399	16618	640	1447915
هفته اول دی 1399	15473	602	1397797
هفته دوم دی 1399	16842	652	1310755
هفته سوم دی 1399	13759	533	1229836
هفته چهارم دی 1399	13735	549	1183978
هفته پنجم دی 1399	8922	400	1207698
هفته اول بهمن 1399	12047	517	1173010
هفته دوم بهمن 1399	11225	460	1214416
هفته سوم بهمن 1399	9568	386	1238355
هفته چهارم بهمن 1399	8668	334	1205832
هفته اول اسفند 1399	4030	161	1177916
هفته دوم اسفند 1399	3375	133	1206878
هفته سوم اسفند 1399	4759	192	1307707
هفته چهارم اسفند 1399	6355	257	1294521
هفته اول فروردین 1400	4766	189	1294521
هفته دوم فروردین 1400	3694	108	1249910
هفته سوم فروردین 1400	2893	116	1243558
هفته چهارم فروردین 1400	2149	88	1207004
هفته اول اردیبهشت 1400	2935	124	1207850
هفته دوم اردیبهشت 1400	2355	105	1172262
هفته سوم اردیبهشت 1400	3276	149	1184000
هفته چهارم اردیبهشت 1400	3113	136	1154844
هفته اول خرداد 1400	2703	117	1109334
هفته دوم خرداد 1400	4611	190	1148642
هفته سوم خرداد 1400	4597	192	1151846
هفته چهارم خرداد 1400	3540	148	1147675
هفته اول تیر 1400	5224	218	1256978
هفته دوم تیر 1400	6799	275	1282036
هفته سوم تیر 1400	6191	243	1305495
هفته چهارم تیر 140	6551	258	1311306
هفته اول مرداد 1400	6163	218	1406040
هفته دوم مرداد 1400	6482	251	1484627
هفته سوم مرداد 1400	7913	307	1499923
هفته چهارم مرداد 1400	9245	348	1550208
هفته اول شهریور 1400	11079	402	1520627
هفته دوم شهریور 1400	13518	489	1526008
هفته سوم شهریور 1400	9915	364	1488212
هفته چهارم شهریور 1400	7078	258	1386450
هفته اول مهر 1400	6796	247	1436984
هفته دوم مهر 1400	7191	228	1488264
هفته سوم مهر 1400	5254	256	1397386
هفته چهارم مهر 1400	5025	192	1436357
هفته اول آبان 1400	4102	184	1393960
هفته دوم آبان 1400	4068	149	1398416
هفته سوم آبان 1400	6193	148	1456522

منبع: یافته‌های پژوهشگر

 

شکل (1): نمودار ارزش میانگین هفتگی معاملات خرد در بورس ایران برحسب میلیارد تومان (سمت راست) و میلیون دلار (سمت چپ)

منبع: یافته‌های پژوهشگر

 

4-1- استفاده از مدل قیمت بلک-شولز

قصد داریم در این بخش با کمک گرفتن از مدل قیمتی بلک - شولز به رابطه‌ای برای تقریب میزان ارزش معاملات خرد دست یابیم. ابتدا یک قضیه مفید در مورد لگاریتم قیمت سهام با استفاده از معادلات حرکت براونی هندسی و مدل قیمتی بلک- شولز بدست می‌آوریم.

قضیه 1. با توجه به نمادگذاری در یک مدل قیمتی بلک-شولز، قرار دهید:

 

 

آنگاه:

 

وقتی که:

 

 

در حقیقت این روابط به ما برای پیش‌بینی قیمت در یک بازه زمانی مشخص جلوتر کمک خواهد کرد.

 

اثبات.

بنابر لم ایتو:

 

 

در این صورت خواهیم داشت:

 

 

بنابراین بدست خواهیم آورد:

 

 

 در نتیجه خواهیم داشت:

 

 

 

حال اگر از دو طرف رابطه بالا تابع نمایی بگیریم،  بدست خواهیم آورد:

 

 

در ریاضیات مالی ، یک معیار ریسک خنثی[71] (که معیار تعادل یا معیار مارتینگل[72] معادل نیز نامیده می شود) یک اندازه‌گیری در فضای احتمال است به طوری که قیمت هر سهم دقیقاً برابر با انتظار تنزیل شده[73] قیمت سهام تحت این معیار است. این پارامتر در قیمت‌گذاری مشتقات مالی استفاده می شود، که به این معنی است که در یک بازار کامل، قیمت یک مشتق، ارزش مورد انتظار تنزیل شده[74] بازده آتی تحت معیار منحصر به فرد ریسک خنثی است. چنین معیاری وجود دارد اگر و تنها در صورتی که بازار بدون آربیتراژ[75] باشد.حال فرض کنید  به ترتیب از چپ به راست یک اندازه در فضای جهانی حقیقی و معیار ریسک خنثی باشند. با استفاده از مشتق‌گیری رادون-نیکودیم نتیجه می‌گیریم:

 

تعریف کردیم:

 

 

مجددا با استفاده از مشتق‌گیری رادون-نیکودیم در یک نقطه شروع مناسب، بدست خواهیم آورد:

 

 

با انتخاب نقطه شروع با یک واحد تاخیر نتیجه می‌گیریم‌:

 

از طرف دیگر:

 

همچنین با جایگذاری مناسب

 

 

 

 

 

باجایگذاری و کمک‌گیری از امید ریاضی[76] خواهیم داشت:

 

 

وقتی که:

 

همانطور که ادعا کردیم.

در قضیه 1، در حقیقت سعی کردیم تا با استفاده از مدل قیمتی بلک-شولز و با به کارگیری روابطه عمیق ریاضی و بخصوص مبانی فرآیندهای تصادفی و آنالیز غیرخطی به نتیجه‌ای نظری برای پیش‌بینی آینده قیمت در یک مدل تصادفی بپردازیم. در نتیجه زیر سعی می‌کنیم با نگرشی کاربردی‌تر به نتایجی قابل محاسبه دست یابیم. در حقیقت هدف ما آن است تا با بدست آوردن روابط عددی ریاضی به استفاده از داده‌های قیمتی یک بازه زمانی مشخص، تقریبی از یک بازه زمانی جلوتر را بدست آوریم.

 

نتیجه 1. در نتیجه زیر با استفاده از مدل تصادفی براونی هندسی روی مدل قیمت بلک-شولز روابطی قابل محاسبه بدست می‌آوریم. با بهره‌گیری از روابط بدست آمده محاسباتی تقریبی برای پیش‌بینی یک دوره یکساله از ارزش معاملات خرد در بورس ایران را انجام خواهیم داد.

 

 

به ترتیب از چپ بیانگر یک حرکت براونی، انحراف معیار قیمت سهام و نرخ افزایش سالانه قیمت سهام هستند. بنابراین:

 

حال با استفاده از رابطه تقریبی

 

نتیجه خواهیم گرفت:

 

 

حال با استفاده از رابطه بین حرکت براونی هندسی و توزیع نرمال[77] بدست می‌آوریم:

 

درنتیجه:

 

 

جدول (1) شامل میانگین اطلاعات ماهانه حجم معاملات در بورس اوراق بهادار ایران بر اساس قیمت پایانی ماهانه می‌باشد داده ها را از طریق سایت سازمان بورس دریافت کرده‌ایم.

 

جدول (2): میانگین اطلاعات ماهانه ارزش معاملات خرد در بورس اوراق بهادار ایران

نرخ افزایش	میانگین ارزش معاملات ماهانه بر اساس هزار میلیارد تومان	ماه
	9600	1
0.384583333	13292	2
0.256169124	16697	3
0.400251542	23380	4
-0.370188195	14725	5
-0.253718166	10989	6
-0.400582401	6587	7
0.647942918	10855	8
0.530907416	16618	9
-0.463112288	8922	10
-0.266843563	8668	11
0.073550047	6355	12

منبع: یافته­های پژوهشگر

 

 با استفاده از داده‌های جدول (2) نتیجه می‌گیریم:

 

 

 

 در حقیقت آنچه به صورت تقریبی حساب شد، میزان ارزش معاملات خرد دریک سال بعد در بورس ایران است. این رابطه می تواند به عنوان یک مثال در نظر گرفته شود. در حقیقت یک روش برای پیش‌بینی روند آتی میزان ارزش معاملات خرد در بورس اوراق بهادار ایران.

 

4-2- استفاده از تحلیل تکنیکال

 

شکل (2): نمودار میانگین هفتگی ارزش معاملات خرد در بورس ایران برحسب تومان (سمت راست) و میلیون دلار(سمت چپ)

منبع: یافته­های پژوهشگر

 

در شکل‌ (2) روند میانگین حرکتی ساده با دوره‌های 10 هفته (رنگ بنفش)، 20 هفته (رنگ قرمز) و 50 هفته (رنگ سبز) روی نمودار میانگین هفتگی ارزش معاملات خرد در بورس ایران برحسب تومان و دلار مشاهده می‌شوند.

همان طورکه در شکل‌های (2) مشهود است، به خوبی می‌توان نقش حمایتی اندیکاتور میانگین حرکتی را در تابستان سال 1400 روی نمودار میانگین هفتگی ارزش معاملات خرد در بورس ایران مشاهده کرد.

 

شکل (3): نمودار شاخص RSI  مستخرج از نمودار میانگین هفتگی ارزش معاملات خرد در بورس ایران برحسب تومان (سمت راست) و دلار (سمت چپ)

منبع: یافته­های پژوهشگر

 

همان‌طور که انتظار داشتیم، شاخص قدرتمند RSI نتایج خوبی از روند شاخص کل بورس ایران با توجه به نمودارهای  میانگین هفتگیارزش معاملات خرد ارائه کرده است. چون در محاسبه شاخص RSI  به طور معمول از دوره‌های 14تایی استفاده می‌شود، برای استخراج نتایج قوی‌تر بهتر است در حد امکان بازه‌های زمانی طولانی‌تر مورد استفاده قرار بگیرد. با اینکه در شکل سمت چپ اثر تورمی قیمت دلار که عملا تاثیر زیادی در تغییر قیمت بازار سهام دارد خنثی شده است، اما روند هر دو نمودار تقریبا منطبق است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که آنچه تاثیرگذار است عملا تعداد سهام معامله شده است. همان طور که قبلا گفته شد، وقتی این شاخص بالای عدد 70 قرار می‌گیرد، یعنی بازار به اشباع خرید رسیده است. همچنین وقتی عدد شاخص RSI به زیر 30 می‌رسد، یعنی اینکه بازار سرمایه به اشباع فروش رسیده است.

 

4-3- استفاده از آزمون‌های آماری

یکی از اندیکاتورهای موجود در تحلیل تکنیکال، اندیکاتور نوارهای بولینگز[78]، است. پایه و اساس این اندیکاتور آزمون‌های آماری است. در حقیقت این اندیکاتور تلفیقی از مفاهیم پرایس اکشن[79]، تحلیل تکنیکال و مبانی علم آمار برای تصمیم‌گیری در روند یک بازار مالی است. در اینجا قصد نداریم به صورت مستقیم به بررسی این اندیکاتور بپردازیم، بلکه قصد داریم با استفاده از ایده‌های این اندیکاتور که مبتنی بر آزمون فرض[80] و برآورد بازه اطمینان[81] آماری است به تحلیل و بررسی شاخص کل بورس ایران با استفاده از داده‌های ارزش معاملات خرد بپردازیم. معمولا تحلیل تکنیکال برای تعیین بازه اطمینان از دوره‌های 20تایی استفاده می‌کنند.

 

 

شکل (4): میانگین هفتگی ارزش معاملات خرد برحسب تومان(سمت راست) و دلار (سمت چپ)  محدود شده توسط برآوردهای آماری میانگین

منبع: یافته­های پژوهشگر

 

شکل (5): نمودار شاخص کل بورس ایران محدود شده توسط برآوردهای آماری میانگین

منبع: یافته­های پژوهشگر

 

لوییس باچلیر[82] در اوایل قرن بیستم  نشان داد که می‌توان برای رصد بازارهای مالی از الگوهای فرآیند گام تصادفی استفاده کرد. در حقیقت می‌توان اذعان کرد که حرکت بازارهای مالی یک حرکت براونی است.  این بدان معنی است که قیمت‌های آینده فقط توسط شرایط فعلی تعیین ‌می‌شوند و دارای استقلال از حرکات گذشته هستند. می‌توان برای پیش‌بینی روند آینده یک حرکت براونی از الگوهای احتمالاتی استفاده کرد (سان، 2003). یکی از مطرح‌ترین مدل‌ها برای پیش‌بینی قیمت در دوره‌های زمانی کوتاه  مدلGBM  یا مدل حرکت هندسی براونی است (مهاجر و اوقر، 2021). برآورد تلاطم قیمت یک کالا به کمک شبیه‌سازی مونت کارلو[83]،  را می‌توان در تحقیقات متنوع کوپلند و آنتیکاروف[84] (2001) و تیتمان و مارتین[85] (2008) رویت کرد. یکی از مفاهیم کلیدی در مورد معاملات در بازارهای سرمایه، مفهوم بازگشت به میانگین است. در مدل‌های ریاضی، از این سری‌های زمانی با عنوان فرایند اورنشتاین-اولنبک[86]  یاد می‌شود، این ویژگی در نفطه مقابل با گام تصادفی است که هیچ حافظه‌ای از موقعیت‌های قبلی ندارد. ولی همان طور که در بالا بحث شد، علی‌رغم اینکه بازارهای مالی دارای حرکت براونی هستند، در کوتاه مدت می‌توان فرضیه بازگشت به میانگین را در مورد بازارهای مالی پذیرفت. آزمون‌های متفاوتی برای برگشت‌پذیری یک سری زمانی به میانگین وجود دارد. مثلا، یکی از این آزمون‌ها، آزمون دیکی فولر[87]، است. از نظر ریاضی، آزمون دیکی فولر افزوده مبتنی بر ایده وجود یک ریشه واحد در یک سری زمانی خود‌بازگشت است. در این آزمون، از این واقعیت استفاده می‌شود که اگر یک سری زمانی دارای بازگشت به میانگین باشد، سطح بعدی قیمت متناسب با سطح قیمت فعلی خواهد بود (گریمز[88]، 2012). همان طور که در بخش‌های قبلی توضیح داده شد، یکی از آزمون‌های شاخص در این زمینه آزمون هرست است. در حقیقت این آزمون می‌تواند ویژگی بازگشت به میانگین یک فرآیند تصادفی را مورد شناسایی قرار دهد. همچنین این آزمون قادر است در مورد رونددار بودن یک فرآیند تصادفی اعلام نظر کند..

 

جدول (3): بررسی شاخص نمای هرست بر شاخص اس اندی پی 500 [89] .

Hurst Exponent	Period
0.46	5 Minutes
0.49	1 Hour
0.50	Daily
0.56	Weekly
0.63	Monthly

منبع: یافته­های پژوهشگر

 

حال با توجه به نمونه آماری که بازه زمانی فروردین 1399 تا آبان 1400 را مورد بررسی قرار داده است، نتایج جدول (4) بدست آمده است.

 

 

جدول (4): آزمون وجود ویژگی بازگشت به میانگین  )توان هرست(

متغیر	توان هرست برآورد شده	نتیجه
ارزش معاملات خرد (دلار)	0/5801	رونددار
ارزش معاملات خرد (تومان)	0/5619	رونددار

منبع: یافته­های پژوهشگر

 

5- نتیجه‌گیری

یکی از دغدغه‌های مدیران مالی کارگزاری‌های بزرگ یا مشاورین امور مالی، انتخاب بهترین فرصت‌های سرمایه‌گذاری است که بیشترین ارزش افزوده را برای سرمایه‌گذاران داشته باشند. امروزه، با پیشرفت ابزارهای نوین مالی، بازارهای سهام دربرگیرنده انواع و اقسام فرصت‌های سرمایه گذاری برای سرمایه گذاران خرد و کلان هستند. با توجه به تنوع در بازارهای سهام و پیچیدگی روند حرکت بازارهای سهام، نیاز است تا با بهره‌گیری از دانش‌های متنوع و به‌روز شده در جهت تصمیم‌گیری بهینه در این بازارها اقدام نمود.

اولویت نویسندگان از نگارش این مقاله، ایجاد نگرشی جدید مبتنی بر مدل‌سازی ریاضی برای بررسی تغییرات شاخص کل بورس ایران می‌باشد. بیان این نکته حایز اهمیت است که نتایج و قضایای بزرگ ریاضی، گاه سالیان طولانی بایستی در علوم مختلف مورد مواجهه با مسایل جزیی قرار گیرند، تا بتوانند به ابزارهایی محاسباتی و قابل استفاده منجر گردند. مثال ملموس این مطلب مدل قیمتی بلک-َشولز است، که از یک طرف برپایه قضایای عمیق ریاضی استوار است و از طرف دیگر دارای کاربردهای ملموس در بازارهای مالی می‌باشد.  مطلب دیگری که مد نظر نویسندگان این تحقیق بوده است آن است که گاها برای حل مسایل دشوار ریاضی و محاسباتی مجبور می‌شویم تا با شبیه سازی مساله بر روی حالات مشابه که محدودیت‌های کمتری نسبت به مساله اصلی دارند، راهکاری برای حل مساله اولیه خود بیابیم.

یکی از اهداف اصلی تحلیل‌گران بازار بورس ایران، پیش‌بینی روند شاخص کل بورس ایران است. بر مبنای همین ایده، سعی شد تا به جای بررسی شاخص کل بورس ایران به بررسی تغییرات ارزش معاملات خرد در بورس ایران بپردازیم. دلایل متعددی برای این انتخاب وجود دارند. به طور مثال، ارزش معاملات خرد در بورس می‌تواند بیانگر رفتار هیجانی معامله‌گران خرد باشد. همچنین بایستی توجه کرد که عمده سهام‌های فروخته شده در نقاط بیشینه قیمت، متعلق به معامله‌گران کلان و یا معامله‌گران با تجربه است. بنابراین به نظر می‌رسد بایستی تناسبی بین میزان سهام فروخته شده در نقاط بیشینه بازار با میزان سهام خریداری شده در نقاط کمینه بازار سهام وجود داشته باشد. همچنین باید توجه کرد که تعداد کل سهام قابل معامله دارای محدودیت است، در حالی که قیمت سهام دارای چنین محدودیتی نیست. حتی محدودیت در زمان انجام معاملات عاملی است که نباید از آن غافل شد. بنابراین عامل تعداد سهام معامله شده، عاملی تاثیرگذار برای شناسایی روند بازار است. همانطور که قبلا ذکر شد فرآیندهای متعددی در بازار سهام ایران وجود دارند که باعث تغییر تعداد کل سهام قابل معامله یک شرکت می‌شوند. اما حتی در فرآیند افزایش سرمایه، تناسبی بین تغییر تعداد سهام جدید و قیمت سهام وجود دارد. میزان ارزش معاملات خرد در حقیقت تلفیقی از عوامل قیمت و تعداد سهام معامله شده است.  با در نظر گرفتن این مطالب به نظر می‌رسد استفاده از عامل ارزش معاملات خرد در مدل‌سازی ریاضی و یا به تعبیر دیگر در شبیه سازی محاسباتی به جای شاخص کل بورس ایران منطقی باشد.

در فصل 4 ، با استفاده از ابزارهای نظری ریاضیات مالی و ریاضیات تصادفی نتایجی نظری بر روی مدل قیمتی بلک- شولز بدست آوردیم. هدف از این نتیجه بدست آوردن قضیه‌ای نظری برای پیش‌بینی آینده قیمت است. با استفاده از نتایج این قضیه به تقریبهای محاسباتی جهت تقریب عددی روندآتی ارزش معاملات خرد دست یافتیم. 

تحلیل‌گران بازار بورس ایران، معمولا از ابزارهای تحلیل تکنیکال برای بررسی روند شاخص کل بورس استفاده می‌کنند. با به‌کارگیری برخی از ابزارهای مهم تحلیل تکنیکال بر روی عامل ارزش معاملات خرد سهام، به این نتیجه دست یافتیم که شباهت‌های بسیاری بین عملکرد این اندیکاتورها بر روی شاخص کل بورس ایران و عامل ارزش معاملات خرد وجود دارند.

آزمون نمای هرست برای تعیین خواصی مثل قابلیت بازگشت به میانگین، رونددار بودن و ... در مورد سری‌های زمانی به کار گرفته می‌شود. با استفاده از این آزمون بر روی عامل ارزش معاملات خرد به این نتیجه دست یافتیم که میزان ارزش معاملات خرد به عنوان یک سری زمانی رونددار است.  به عبارت دیگر هم یک مقدار بالا در این سری زمانی احتمالا با یک مقدار بالای دیگر دنبال می‌شود و هم اینکه مقادیر بالا در مدت طولانی در آینده نیز تمایل به بالا بودن دارند.

به طور خلاصه نتایج جدید به دست آمده و نوآوری انجام شده در این مقاله را می‌توان در دوبخش مجزا بیان نمود. بخش اول این نتایج عبارت است از تعمیم‌هایی که روی مدل قیمتی بلک - شولز انجام شده است. مدل قیمتی بلک- شولز دارای کاربردهای فراوانی در ریاضیات مالی است . بخصوص در معاملات اختیارات استفاده‌های فراوانی از این مدل می‌شود. یکی از دشواری‌های کار کردن با این مدل قیمتی آن است که معادلات اصلی این مدل برپایه معادلات دیفرانسیل تصادفی شکل گرفته است و روابطی که برای برآورد آینده قیمت وجود دارند اکثرا براساس تقریب‌های ریاضی می‌باشند. در فصل (4) ، در قضیه 1 سعی کردیم با استفاده از ابزارهای قوی ریاضی به روابطی برای محاسبه قیمت دست یابیم که به صورت صریح باشند که مستقل از شکل و ساختار معادلات دیفرانسیلی مدل قیمتی بلک - شولز باشند. روابط صریح ریاضی، هر چقدر هم که پیچیده باشند، قابلیت بکارگیری در نرم افزارهای ریاضی را دارند که قابلیت استفاده در شاخه‌های کاربردی علوم دیگر را دارا هستند.

بخش دوم نتایج بدست آمده، مبتنی بر بررسی‌هایی هستند که بر روی عامل ارزش معاملات خرد سهام در بورس ایران انجام شده است. اکثر شاخص‌ها، ابزارها و اندیکاتورهایی که در ریاضیات مالی و تحلیل‌های مالی جهت پیش‌بینی آینده روند یک بازار مالی مثلا بازار سهام مورد استفاده قرار می‌گیرند، از داده‌های قیمت سهام استفاده می‌کنند. به طور مثال شاخص کل بورس ایران، متاثر از تعداد سهام موجود و قیمت روز سهام می‌باشد. تعداد سهام موجود، دارای تغییرات لحظه‌ای نمی‌باشد و عملا تغییرات شاخص کل بورس متاثر از تغییرات قیمت سهام می‌باشد. نوآوری انجام شده در این مقاله استفاده از عامل ارزش معاملات خرد سهام در بورس ایران است. در حقیقت به جای شاخص کل بورس ایران، عامل ارزش معاملات خرد سهام در ابزارهای ریاضی، شاخص‌های آماری و اندیکاتورهای تحلیل تکنیکال مورد استفاده قرار گرفت. دو عامل مهم قیمت روز سهام و تعداد سهام معامله شده بر تغییرات ارزش معاملات تاثیرگذارند. از لحاظ محاسباتی تفاوت عمده بین شاخص کل بورس و عامل ارزش معاملات خرد در آن است که شاخص کل یک تابع یک متغیره است در حالی که عامل ارزش معاملات خرد تابعی دو متغیره است. بسیاری از مسایل دشوار ریاضی در حالت یک متغیره راه حلی ندارند، اما با تعمیم فضای محاسباتی به ابعاد بالاتر، می‌توان آنها را حل کرد. به طور مثال، در نمودارهایی که در این مقاله با استفاده از عامل ارزش معاملات خرد سهام رسم شده‌اند، پایداری بیشتری در نقاط بیشینه یا کمینه قیمت نسبت به نمودارهای شاخص کل بورس ایران مشاهده ‌می‌شوند. تعبیر این موضع آن است که دو متغیر تعداد سهام معامله شده و قیمت روز سهام متغیرهایی مستقل هستند. به تعبیر ساده‌تر، در نقاط بیشینه یا کمینه قیمت سهام، تغییرات تعداد سهام معامله شده با تغییرات قیمت همسو نیست. یعنی در حالی که در نقاط بیشینه، قیمت سهام در حال افزایش می‌باشد، تعداد سهام معامله شده چنین رفتاری ندارد که می‌تواند به نوعی نشانگر احتیاط معامله‌گران در خرید سهام باشد. با توجه به دو متغیره بودن تابع ارزش معاملات خرد سهام، ایده ای که نویسندگان این مقاله در کارهای آتی در ذهن دارند، استفاده از روابط و معادلات چندبعدی ریاضی برای بررسی بیشتر این عامل می‌باشد.

 

منابع مالی

این پژوهش مورد حمایت بخش پژوهشی دانشگاه فرهنگیان و معاونت پژوهش و فناوری دانشگاه سمنان بوده است. ‎

 

 

[1]- گروه آموزش ریاضی، دانشگاه فرهنگیان،تهران،ایران ( نویسنده مسئول) [e-mail]

[2]- گروه آمار و علوم کامپیوتر ، دانشکده ریاضی، ، دانشگاه سمنان، سمنان، ایران [e-mail]

1Financial Markets

2Stock Market

3Black-Scholes Model

4Option

5Non-Linear Analysis

6Stochastic Analysis

7Ito’s Lemma

8Radon-Nikodym Derivative

1TEDPIX of Iran

2Statiscal Methods

3Technical Analysis

4Hurst Exponent

5Capital Increase

6Public Float

7Block Trade

8Value of Small-Volume Transactions

1Efficient Market Theory

2Fama

3Narayan

4Random Walk Process

5Stationary Process

6Wilmott

7Moving Average

8Gbenro and Moussa

9Palwasha et al

10Shaik and Maheswaran

1Smart Money

2Karpoff

3Speculative Prices

4Future Markets

1Call Option

2Put Option

3Black-Scholes Differential Equatin

4Dividens

1Strike Price

2Stock Price

3Volatility

4Interest Rate

5Geometric Brownian Motion

6Measure Theory

7Measurable Space

8Measurable Function

1Measurable Subset

2Density

3Jacobian

1Indicator

2RSI (Relative Strength Index)

3Macd Indicator

4Welles Wilder

5Momentum

6Over bought

7Over sold

8Simple Moving Average

1Chaos Theory

2Ladde and Wu

3Time Series

4Stochastic Process

5Strong Stationary Process

6Joint Probability Distribution

7Invariant

8Geometric Brownian Motion

9Hurst

10Variance

11Fractal

1Correlation

2Chan

3Long-Term Switching Between High and Low Values

4Long-Term Positive Auto Correlation

1Risk-Netural Measure

2Martingle

3Discounted

4Risk-Netural

5Arbitrage

1Expected Value

1Normal Distribution

1Bollinger Bands

2Price action

3Sttistical Hypothesis Testing

4Confidence Interval Estimation

1Bachelier

2Monte Carlo

3Copleland and Antikarov

4Titman and Martin

5Ornstein-Uhlenbeck

1Dickey Fuller Test

2Grimes

3S & P 500 Index

مراجع

فهرست منابع

• زمانیان غلامرضا، جلالی ام‌البنین ، کردی تمندانی علی. (1396) رهیافت مدل احتمال مبادله آگاهانه در بررسی اثر عدم تقارن اطلاعات بر بازده سهام و حجم معاملات در شرکتهای منتخب بورس اوراق بهادار تهران. فصلنامه اقتصاد مالی 41. 43-66.
• شکوه احمدعلی، دامن‌کشیده مرجان، هادی‌نژاد منیره. (1396) برآورد شدت تأثیرگذاری سیاست‌های پولی بر شاخص قیمت سهام در ایران (مطالعه موردی صنایع پتروشیمی فعال در بورس اوراق بهادار تهران). فصلنامه اقتصاد مالی 40. 139-158.
• فدایی‌نژاد اسماعیل، فراهانی رضا. (1396) اثرات متغیرهای کلان اقتصادی بر شاخص کل بورس اوراق بهادار تهران. فصلنامه اقتصاد مالی 39. 1-26.